奥数专项训练应用题：追及问题
一、填空题(共10小题，每小题0分，满分0分)
1.甲以每小时4千米的速度步行去学校，乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲，乙每小时行12千米，乙_________小时可追上甲.
2.小张从家到公园，原打算每分钟走50米，为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.小张家到公园有_________米.
3.父亲和儿子都在某厂工作，他们从家里出发步行到工厂，父亲用40分钟，儿子用30分钟.如果父亲比儿子早5分钟离家，问儿子用_________分钟可赶上父亲?
4.解放军某部小分队，以每小时6千米的速度到某地执行任务，途中休息30分后继续前进，在出发5.5小时后，通讯员骑摩托车以56千米的速度追赶他们._________小可以追上他们?
5.甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙.若乙比甲先跑2秒钟，则甲跑4秒钟能追上乙.问甲、乙两人每秒钟各跑_________米，_________米.
6.小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小明骑自行车的速度是_________米/分.
7.甲、乙两匹马在相距50米的地方同时出发，出发时甲马在前乙马在后.如果甲马每秒跑10米，乙马每秒跑12米，_________秒两马相距70米?
8.上午8时8分，小明骑自行车从家里出发.8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰是8千米，这时是_________时_________分.
9.从时钟指向4点开始，再经过_________分钟，时针正好与分针重合.
10.一队自行车运动员以每小时24千米的速度骑车从甲地到乙地，两小时后一辆摩托车以每小时56千米的速度也从甲地到乙地，在甲地到乙地距离的二分之一处追上了自行车运动员.问：甲乙两地相距_________千米.
二、解答题(共4小题，满分0分)
11.一只狗追赶一只野兔，狗跳5次的时间兔子能跳6次，狗跳4次的距离与兔子7次的距离相等.兔子跳出550米后狗子才开始追赶.问狗跳了多远才能追上兔子?
12.当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米、比丙领先20，如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将比丙领先多少米?
13.一架敌机侵犯我领空，我机立即起飞迎击，在两机相距50千米时，敌机扭转机头以每分15千米的速度逃跑，我机以每分22千米的速度追击，当我机追至敌机1千米时与敌机激战，只用了半分就将敌机击落.敌机从扭头逃跑到被击落共用了多少分?
14.甲、乙两人环绕周长400米的跑道跑步，如果两人从同一地点出发背向而行，那么经过2分钟相遇，如果两人从同一地点出发同向而行，那么经过20分钟两人相遇，已知甲的速度比乙快，求甲、乙两人跑步的速度各是多少?
参考答案与试题解析
一、填空题(共10小题，每小题0分，满分0分)
1.甲以每小时4千米的速度步行去学校，乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲，乙每小时行12千米，乙2小时可追上甲.
考点：追及问题.
分析：要求乙几小时可追上甲，先要求出甲比乙多行的路程，用4×4即可得出;然后求出乙每小时比甲多行的距离，为(12﹣4)千米，用多行的路程除以速度差即可得出问题答案.
解答：解：4×4÷(12﹣4)=2(小时);
答：乙2小时可追上甲.
故答案为：2.
点评：此题属于典型的追及问题，根据题意，用“多行的路程÷速度差=追及时间”即可得出结论.
2.小张从家到公园，原打算每分钟走50米，为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.小张家到公园有1500米.
考点：追及问题.
分析：根据题意，每分钟多走75﹣50=25米，可以少走10分钟，而原来10分钟可以走50×10米，因此75米速度走的时候，需要走50×10÷(75﹣50)分钟才可以补回这段路程，因此有：全程=50×10÷(75﹣50)×75=1500米.
解答：解：小张走的距离是：50×10÷(75﹣50)×75=1500(米).
答：小张家到公园有1500米.
故填：1500.
点评：根据追及问题很容易解决此类问题，也可以把小张家到公园的距离为“1”，类比工程问题列式为10÷( ﹣ ).
3.父亲和儿子都在某厂工作，他们从家里出发步行到工厂，父亲用40分钟，儿子用30分钟.如果父亲比儿子早5分钟离家，问儿子用15分钟可赶上父亲?
考点：追及问题.
分析：此题属于行程问题，把总路程看作单位“1”，父亲用40分钟，则每分钟走 ，儿子用30分钟，则每分钟走 ，父亲比儿子早5分钟离家，则父亲多走 ×5，因为儿子每分钟比父亲多走( ﹣ )，根据“路程之差÷速度之差=追及时间”，代入数字，即可得出答案.
解答：解：( ×5)÷( ﹣ )，
= ÷ ，
=15(分钟);
答：儿子用15分钟可赶上父亲.
故答案为：15.
点评：此题属于行程问题，做此题的关键是把总路程看做单位“1”，然后根据“路程之差÷速度之差=追及时间”，代入数字，即可得出结论.
4.解放军某部小分队，以每小时6千米的速度到某地执行任务，途中休息30分后继续前进，在出发5.5小时后，通讯员骑摩托车以56千米的速度追赶他们.0.6小可以追上他们?
考点：追及问题.
分析：小分队出发5.5个小时，实际只走了5个小时，是5×6=30千米.利用速度差的关系式，得出，追的路程靠速度差来完成.需要30÷(56﹣6)=3÷5=0.6小时.
解答：解：解法一：6×(5.5﹣0.5)÷(56﹣6)=0.6(小时).
解法二：设x小时可以追上他们.
56x=6×(5.5﹣0.5)+6x
56x=30+6x
x=0.6;
答：通讯员0.6小时可以追上他们.
点评：此题属于追及问题，主要的一步是利用速度差的关系式来求.
5.甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙.若乙比甲先跑2秒钟，则甲跑4秒钟能追上乙.问甲、乙两人每秒钟各跑6米，4米.
考点：追及问题.
分析：根据题意，甲跑5秒钟可追上乙，即5秒追10米，所以每秒追10÷5=2米，乙先跑2秒则追了4秒，即4×2=8米，也就是乙2秒8米，再根据题意解答即可.
解答：解：由题意可得，乙的速度是：10÷5×4÷2=4(米/秒)，
那么甲的速度是：(4×5+10)÷5=6(米/秒).
故填：6，4.
点评：根据题意，由追及问题解答即可.
6.小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小明骑自行车的速度是125米/分.
考点：追及问题.
分析：根据题干可知：小明和小强走的路程都是1000米，根据路程÷速度=时间，可以求出小明走的总时间从而得出小强骑自行车所用的时间，由此解决问题即可.
解答：解：1000÷50=20(分钟)，
20﹣12=8(分钟)，
1000÷8=125(米/分).
小明骑自行车的速度是125米/分.
点评：此题抓住追及问题中速度不同，所以行驶的时间不同，但是行驶的路程相同.
7.甲、乙两匹马在相距50米的地方同时出发，出发时甲马在前乙马在后.如果甲马每秒跑10米，乙马每秒跑12米，60秒两马相距70米?
考点：追及问题.
分析：已知 乙马速度比甲马快，最后两马相距70米.可知最后乙马领先甲马70米.求出追击距离，速度差，就可求得追击时间.
解答：解：出发后60秒.相距70米时，乙马在前，甲马在后，追及距离为50+70=120(米)，
速度差为12﹣10=2(米)，
追及时间为120÷2=60(秒);
答：60秒两马相距70米.
故答案为：60.
点评：此题考查追及距离，速度差，追及时间三者之间的关系.
8.上午8时8分，小明骑自行车从家里出发.8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰是8千米，这时是8时32分.
考点：追及问题.
分析：分别算出走相同的路程，所用时间不同，找出爸爸和小明的速度比，由速度比找出时间差，求得速度，进一步利用路程、速度、时间三者之间的关系解答问题.
解答：解：1、从爸爸第一次追上小明到爸爸第二次追上小明，父子两用的时间是相同的，在这段时间内：
小明从离家4千米的地方走到离家8千米的地方，走了8﹣4=4千米，
爸爸从离家4千米的地方返回家中，再走到离家8千米的地方，走了4+8=12千米，
所以，爸爸的速度是小明速度的3倍(12÷4=3);
也就是说，小明的速度比爸爸速度慢了2倍(3﹣1=2);
由于距离相同时间与速度呈反比，所以，
小明走4千米用的时间是爸爸的3倍(或者说：小明走4千米用的时间比爸爸多2倍);
2、再回过头来看爸爸从家出发第一次追上小明这一段：
小明用的时间比爸爸多8分钟，所以，爸爸的用时是8÷2=4(分钟)，
小明走4千米用的时间是8+4=12分钟;
小明的速度是4÷12= (千米/分钟)，
爸爸的速度是4÷4=1(千米/分钟);
3、自小明从家出发到第二次被爸爸追上，
小明共走了8千米，用时是：8 (=24(分钟)，
上午8时8分加上24分钟，就是上午8时32分.
答：爸爸第二次追上小明时是上午8时32分.
点评：此题考查了追及问题中时间、路程、速度三者之间的关系，解答时抓住路程差和时间差解决问题.
9.从时钟指向4点开始，再经过 分钟，时针正好与分针重合.
考点：钟面上的追及问题.
分析：(1)方法一：时钟指向4点即时针从12点走到4点共走了20个小格(一分钟为一格)，所以20÷(1﹣ )=20× =21 (分钟);
(2)方法二：时钟指向4点即时针从12点走到4点共走了4个大格(一小时为一格).所以4÷(12﹣1)= (小时)=21 (分钟).
解答：解：我们知道：时针1小时走1格，分针1小时走12格，所以从4点开始分针与时针重合所用时间为：
4÷(12﹣1)= (小时)=21 (分钟).
点评：注意：此题的解法类似于“行程问题”.
10.一队自行车运动员以每小时24千米的速度骑车从甲地到乙地，两小时后一辆摩托车以每小时56千米的速度也从甲地到乙地，在甲地到乙地距离的二分之一处追上了自行车运动员.问：甲乙两地相距196千米.
考点：追及问题.
分析：根据题意先算出两小时以后自行车运动员与摩托车之间的路程，24×2=48(千米);再求出摩托车追上运动员的时间.然后用摩托车的速度×追及时间就是甲乙两地距离的一半，最后就可求出甲乙两地之间的距离.
解答：解：两小时以后自行车运动员与摩托车之间的路程：24×2=48(千米)，
摩托车追上运动员的时间：48÷(56﹣24)=1.75(小时)，
摩托车行的路程：56×1.75=98(千米)，
甲乙两地的距离：98×2=196(千米);
答：甲乙两地相距196千米.
故答案为：196.
点评：此题主要考查距离÷速度差=追及时间关系式的应用及计算能力.
二、解答题(共4小题，满分0分)
11.一只狗追赶一只野兔，狗跳5次的时间兔子能跳6次，狗跳4次的距离与兔子7次的距离相等.兔子跳出550米后狗子才开始追赶.问狗跳了多远才能追上兔子?
考点：追及问题.
分析：根据题意可求得两者速度比，已知两者距离.可求出追上后，狗跳的距离
解答：解：根据题目条件有，狗跳4次的路程=兔跳7次的路程，所以，狗跳1次的路程=兔跳 次的路程.狗跳5次的时间=兔跳6次的时间，所以，狗跳1次的时间=兔跳 次的时间.由此可见，狗的速度：兔的速度= ： =35：24，假设狗跳了x米后追上兔子，
则 ，
解此方程，得x=1750，
所以，狗跳了1750米才追上免子.
答：狗跳了1750米才追上免子.
点评：此题主要考查怎样求追及问题中两者的速度关系
12.当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米、比丙领先20，如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将比丙领先多少米?
考点：追及问题.
分析：要求当乙到达终点时将比丙领先多少米，要先求出乙跑完全程时，丙跑了多少米，通过题意，甲60米时，乙跑60﹣10=50米，丙跑60﹣20=40米，进而求出乙的速度是丙的50÷40=1.25倍，计算出乙到终点时丙跑的距离是60÷1.25=48米，继而得出结论.
解答：解：60﹣60÷[(60﹣10)÷(60﹣20)]，
=60﹣60÷1.25，
=12(米);
答：当乙到达终点时将比丙领先12米.
点评：此题解题的关键是先通过题意，求出乙的速度是丙的速度的多少倍，然后计算出乙到终点时丙跑的距离，然后用60减去丙跑的距离即可.
13.一架敌机侵犯我领空，我机立即起飞迎击，在两机相距50千米时，敌机扭转机头以每分15千米的速度逃跑，我机以每分22千米的速度追击，当我机追至敌机1千米时与敌机激战，只用了半分就将敌机击落.敌机从扭头逃跑到被击落共用了多少分?
考点：追及问题.
分析：根据题干，可设我机追至敌机一千米处需x分，则根据我机飞行的路程+1千米=敌机飞行的路程+50千米，由此列出方程即可解决问题.
解答：解：设我机追至敌机一千米处需x分.根据题意可得方程
22x+1﹣15x=50，
解这个方程得x=7;
7+0.5=7.5(分).
答：敌机从扭头逃跑到被击落共用了7.5分.
点评：此题要抓住追击者的路程=二者相距的路程+被追击者的路程.即可列出方程解决问题.
14.甲、乙两人环绕周长400米的跑道跑步，如果两人从同一地点出发背向而行，那么经过2分钟相遇，如果两人从同一地点出发同向而行，那么经过20分钟两人相遇，已知甲的速度比乙快，求甲、乙两人跑步的速度各是多少?
考点：追及问题;环形跑道问题.
分析：①由两人从同一地点出发背向而行，经过2分钟相遇知两人每分钟共行：400÷2=200(米);
②由两人从同一地点出发同向而行，经过20分钟相遇知甲每分钟比乙多走：400÷20=20(米);
根据和差问题的解法可知：200米再加上20米即甲的速度的2倍，或200减去20米即是乙速度的2倍，由此列式解答即可.
解答：解：(400÷2+400÷20)÷2，
=220÷2，
=110(米);
400÷2﹣110=90(米);
答：甲每分钟跑110米，乙每分钟跑90米.
点评：此题属于追及应用题，做此题的关键是结合题意，根据路程、速度和时间的关系，进行列式解答即可得出结论.
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