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数论问题之整数拆分：练习题含精讲

标签：整数拆分

1、将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有______种不同的做法其中面积最大的是哪一种长方形

(1992年"我爱数学"邀请赛试题)

讲析:做成的长方形,长与宽的和是

144÷2=72(厘米).

因为72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36,

所以,一共有36种不同的做法.

比较以上每种长方形长与宽的积,可发现:当长与宽都是36厘米时,面积最大.

2、若干只同样的盒子排成一列，小明把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小聪从每只盒子里取出一个小球，然后把这些小球放到小球最少的盒子里去，在把盒子从新排列了一下。小明回来，仔细查看，没有发现友人动过小球和盒子。问：一共有多少只盒子？

分析：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加到了b只，但小明发现没有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个球的盒子，这只盒子原来装有a+1个小球，

同理，现在另有一个盒子里装有a+1个小球，这只盒子里原来装有a+2个小球。

依此类推可知：原来还有一个盒子里装有a+3个小球，a+4个小球等等，故原来那些盒子里装有的小球数是一些连续自然数。

现在这个问题就变成了：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数？

因为42=6×7，故可将42看成7个6的和，又：

（7+5）+（8+4）+（9+3）

是六个6，从而：

42=3+4+5+6+7+8+9

一共有7个加数；又因为42=14×3，可将42写成13+14+15，一共有3个加数；

又因为42=21×2，故可将42写成9+10+11+12，一共有4个加数。

解：本题有三个解，一共有7只盒子，4只盒子，3只盒子。

点金术：巧用假设和推理把已知和未知联系起来。

3、将1992表示成若干个自然数的和,如果要使这些数的乘积最大,这些自然数是______.

(1992年武汉市小学数学竞赛试题)

讲析:若把一个整数拆分成几个自然数时,有大于4的数,则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和,则这个2与大于2的这个数的乘积肯定比它大.又如果拆分的数中含有1,则与"乘积最大"不符.

所以,要使加数之积最大,加数只能是2和3.

但是,若加数中含有3个2,则不如将它分成2个3.因为2×2×2=8,而3×3=9.

所以,拆分出的自然数中,至多含有两个2,而其余都是3.

而1992÷3=664.故,这些自然数是664个3.

4、把50分成4个自然数,使得第一个数乘以2等于第二个数除以2;第三个数加上2等于第四个数减去2,最多有______种分法.

(1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)

讲析:设50分成的4个自然数分别是a,b,c,d.

因为a×2=b÷2,则b=4a.所以a,b之和必是5的倍数.

那么,a与b的和是5,10,15,20,25,30,35,40,45.

又因为c+2=d-2,即d=c+4.所以c,d之和加上4之后,必是2的倍数.

则c,d可取的数组有:

(40,10),(30,20),(20,30),(10,40).

由于40÷5=8,40-8=32;(10-4)÷2=3,10-3=7,

得出符合条件的a,b,c,d一组为(8,32,3,7).

同理得出另外三组为:(6,24,8,12),(4,16,13,17),(2,8,18,22).

所以,最多有4种分法.

5、把945写成连续自然数相加的形式,有多少种

(第一届"新苗杯"小学数学竞赛试题)

讲析:因为945=35×5×7,它共有(5+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)奇约数.

所以,945共能分拆成16-1=15(种)不同形式的连续自然数之和.

5、几个连续自然数相加,和能等于1991吗如果能,有几种不同的答案写出这些答案;如果不能,说明理由.

(全国第五届《从小爱数学》邀请赛试题)

讲析:1991=11×181,它共有(1+1)×(1+1)=4(个)奇约数.

所以,1991可以分成几个连续自然数相加,并且有3种答案.

由1991=1×1991得:

1991=995+996.

由1991=11×181得:

…+(80+101)

=80+81+……+100+101.

6、一道简单的问题是：用1、＋、×、（）的运算来分别表示23和27，哪个数用的1较少？要表达2008，最少要用多少个1？

我们先给出从1到15的表达式。

1=1,

2=1+1,

3=1+1+1,

4=(1+1)×(1+1)，

5=(1+1)×(1+1)+1,

6=(1+1)×(1+1+1),

7=(1+1)×(1+1+1)+1,

8=(1+1)×(1+1)×(1+1),

9=(1+1+1)×(1+1+1),

10=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1),

11=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1,

12=(1+1+1)×(1+1)×(1+1),

13=(1+1+1)×(1+1)×(1+1)+1,

14= (1+1)×((1+1)×(1+1+1)+1),

15= (1+1+1)×((1+1)×(1+1)+1)。

把用1的个数写成数列，就是{1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 7, 8, 8, 8, ...}。

对于23，

23 = (1+1)×((1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1)+1，

1的个数为11。

对于27，

27 = (1+1+1) × (1+1+1) × (1+1+1)

1的个数为9。

对于2008这样的大数，要寻找表达式很困难。

我找到的表达式是

(((1+1)×(1+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1=2008

一共用了24个1，但是不是用了最少的1，证明起来有一定难度。

7、下面这道题出自斯坦福大学入学考试题。

有一天非常热，四对夫妇共饮了44瓶可乐。女士安喝了2瓶，贝蒂喝了3瓶，卡罗尔喝了4瓶，多萝西喝了5瓶。布朗先生和他的妻子喝得一样多，但是其他三位男士都比各自的妻子喝得多：格林先生是其妻的两倍，怀特先生是三倍，史密斯先生是四倍。请说出四位女士的姓。

在美国，妻子与丈夫同姓。解决本题的方法之一是解不定方程。下面我们换一种方法，就是整数的拆分。

44瓶可乐，减去女士已经喝掉的14瓶，还剩30瓶。先按照每个男士和女士喝得一样多，再减掉男士喝掉的14瓶，还剩16瓶。本题的实质是把16拆分成2、3、4、5中的某3个数的1、2、3。倍之和。

显然，5或者4的3倍加上2、3会超过16，3的3倍也不行，只有2的3倍是一个可行的数。

16去掉6后还剩下10。也就是要把10拆分成3、4、5中某2个数的1、2倍之和，结果就是2个3和1个4。

最后，我们得到的答案是

44=2＋3＋4＋5＋4×2＋3×3＋2×4＋1×5。

和题目描述的对比一下，就可以知道四位女士的姓名了：安·史密斯，贝蒂·怀特，卡罗尔·格林，多萝西·布朗。

用整数的拆分方法来解整数方程，也是一条好途径。

8、子女的年龄

题目的描述是这样的：一个经理有3个女儿，3个女儿的年龄加起来等于13，3个女儿的年龄乘起来等于经理自己的年龄，有1个下属已知道经理的年龄，但仍不能确定经理3个女儿的年龄，这时经理说只有1个女儿的头发是黑的，然后这个下属就知道了经理3个女儿的年龄。请问三个女儿的年龄分别是多少？为什么？

题目也可能变为：两个俄国数学家在飞机相遇。伊凡问：如果我没有记错的话，你有3个儿子，他们都多大了？艾格回答：他们的年龄乘积是36，年龄之和是今天的日期。伊凡思考了一分钟后，说：可是你并没有告诉我你儿子的岁数。艾格说：忘了告诉你，我小儿子的头发是红色的。伊凡回答：那就很清楚了，我知道你儿子的岁数了。伊凡是怎么知道艾格儿子们的岁数的？

这道题也很经典，难度不算太大，经常改头换面地出现在各类趣味数学书本中。因为解题过程不需要高深的数学知识，只涉及简单的加数拆分和因素分解，但要求缜密的逻辑性和足够的耐心。

我们把这些都列成表。在女儿猜数中，出现了两个相同的乘积36，导致判断困难，因此可以断定父亲的年龄为36；由于只有一个女儿的头发是黑的，去掉了两个小女儿同为2岁的可能性，结果因此就出来了，女儿的岁数分别是1、6、6。在儿子的猜数中，出现了2个相同的和13，导致了判断困难。由于只有一个儿子的头发是红的，排除了两个儿子同为2岁的可能性，因此结果也是三个儿子分别为1、6、6岁，当天日期为本月的13日。

和数	女儿1	女儿2	女儿3	乘积
13	1	1	11	11
13	1	2	10	20
13	1	3	9	27
13	1	4	8	32
13	1	5	7	35
13	1	6	6	36
13	2	2	9	36
13	2	3	8	48
13	2	4	7	56
13	2	5	6	60
13	3	3	7	63
13	3	4	6	72
13	3	5	5	75
乘积	儿子1	儿子2	儿子3	和数
36	1	1	36	38
36	1	2	18	21
36	1	3	12	16
36	1	4	9	14
36	1	6	6	13
36	2	2	9	13
36	2	3	6	11
36	3	3	4	10