备战2013年华杯赛历年精选真题讲解:包含与排除
2013年第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛(简称:华杯赛)备战已经开始了,为了让大家能够更好的为比赛做准备,查字典宁波奥数网小编将历年的一些真题讲解整理出来,供大家。
基本知识:
如果被计数的事物有集合A,集合B两类,那么集合A或集合B元素的个数=集合A里元素的个数+集合B里元素的个数-集合A与集合B交集里元素的个数。可简记为:A或B=A+B-A∩B
如果被计数的事物有集合A,集合B,集合C三类,那么
集合A或B或C元素的个数=集合A里元素的个数+集合B里元素的个数+集合C里元素的个数-集合A与B的交集中元素的个数-集合A与C的交集中元素的个数-集合不B与C的交集中元素的个数+集合A、B、C的交集中元素的个数。
可简记为:A或B或C=A+B-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C
此种原理既可以叫“容斥原理”,也可叫做“重叠原理”。
例1 某班共有48人,其中27人会游泳,33人会骑车,40人会打乒乓球,那么这个班至少有多少人三项活动都会?
解:不会游泳的人有48-27=21(人)
不会骑车的人有:48-33=15(人)
不会打乒乓球的人有:48-40=8(人)
至少一样不会的人最多有:21+15+8=44(人)
三项都会的同学至少有48-44=4(人)。
例2 在1~1000中,既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的数共有多少个?
解: 2的倍数:1000÷2=500(个)
3的倍数:1000÷3=300(个)…1
5的倍数:1000÷5=200(个)
既是2的倍数,又是3的倍数:1000÷(2×3)=166(个)…4
既是2的倍数,又是5的倍数:1000÷(2×5)=100(个)
既是3的倍数,又是5的倍数:1000÷(3×5)=66(个)…10
既是2的倍数,又是3和5的倍数:1000÷(2×3×5)=33(个)…10
2或3或5的倍数:
500+333+200-166-100-66+33=734(个)
既不是2的倍数也不是3和5的倍数:
1000-734=266(个)
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