第二届大山杯决胜名校数学邀请赛决赛试题详解

郑州奥数网12月10日 第二届“大山杯”决胜少儿数学邀请赛于12月9日进行了决赛，14号开始通知决赛结果。

小编整理了此次考试的详解（决赛真题及答案），供同学们查看。小编提醒，同学们要通过此次考试进行总结，对自己的学习方法和知识掌握进行改善和查漏补缺，为2013郑州小升初做好充足的准备。

第二届大山杯决赛试题详解

1、

2、解：设一个瓶子满瓶体积为15，则一个瓶子酒精与水的体积之比为2:1，则酒精的体积为10,水的体积为5.同理，

另一个瓶子中酒精体积为12，水的体积为3。则混合后酒精总体积为10+12=22,混合后水的总体积为5+3=8。

则混合后酒精与水的体积比为22:8即11:4。

3、解：重点在于理解路程中的时间比。

同样的路程OB,家用了6h，乙用了8h，可假设OB=[6,8]=24(km)。

则甲的速度为：24÷6=4(km/h)。乙的速度为：24÷8=3(km/h)。

AO=4×8=32(km/h)。乙从B到A需用时：（24+32）÷3=56/3 (h)

4、观察到：3×2+2=5+3。则被3除余2转化为被3除余8。被5除余3转化为被5除余8。这样的自然数为[3，5]×m+8=15n+8 只需（15n+8）除以7余4。

即：15n+8=7m+4 解不定方程可得：n=4时m=7 此时最小自然数为15×4+8=53。（此题亦可用中国剩余定理解答）

5、可以（方法不唯一）

A B C D E ;

经过：D C B A E ; 1次

D E A B C ; 2次

B A E D C ; 3次

B C D E A ; 4次

E D C B A ; 5次

E A B C D; 6次

6、6个（取法不唯一）

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10先尽量取大数，有最不利原理，先取出6,7,8,9,10这5个数，然后就会发现在1,2,3,4,5中任意取

一个数都会有两个数其中一个是另一个的倍数所以至少取出6个数

7、2021055

我们就看每行第三个数有没有规律，第三行第三个数是1，第四行第三个数是3=1+2，第五行第三个数是6=1+2+3

第六行第三个数是10=1+2+3+4， · · · · · ·所以第2012行左起第三个数是：1+2+3+4+ · · · +2010=2021055

8、7744

不妨设这个四位数是aabb因为aabb=11×a0b，所以aabb可以被11整除，那么可以看出这个数可能是44、55、66、77、88、99的平方，

依次计算可知，这个数是88的平方，即7744

二、解答题

9、如下图，图中每个折点代表一个点（方法不唯一，找5条直线最多交点即可）

10、这道题目我们可以用表格形式表示题目条件

单位（元）	进入时花了	在店里面花了	离开时花了	剩余
一家	1	剩余的一半	1
二家	1	剩余的一半	1
三家	1	剩余的一半	1
四家	1	剩余的一半	1	1

首先我们来看小明带着多少钱进入的第四家店。由表格中

单位（元）	进入时花了	在店里面花了	离开时花了	剩余
四家	1	剩余的一半	1	1

走出第四家店前小明还有1+1=2元钱

他在店里花了剩余的一半，那么进入第四家店后小明有2*2=4

进入第四家店之前，小明的钱数是4+1=5元

即：（1+1）*2+1=5元

同样，我们可以分析出小明进入第三家店之前，

单位（元）	进入时花了	在店里面花了	离开时花了	剩余
三家	1	剩余的一半	1	5

他有（5+1）*2+1=13元

小明进入第二家店之前，他有（13+1）*2+1=29元

小明进入第一家店之前，他有（29+1）*2+1=61元

答：小明身上共带了了61元钱。

11、方法1、本题可用隔板法，由于3个空可用为0，则先增加3人，总人数为13人。由于分成3组，只需要在12个空中插2个板。方法数位=（12×11）÷（2×1）=66（种）

方法2、未学过个办法这道题目我们采用分类枚举法计算。我们看如下表格

前场	中场	后场	阵型总数
10	0	0	1
9	0	1	2
	1	0
8	0	2	3
	1	1
	2	0
7	0	3	4
	1	2
	2	1
	3	0
6	0	4	5
	1	3
	2	2
	3	1
	4	0

由上面表格的方法我们可以知道

前场（人数）	5	4	3	2	1	0
阵型总数	6	7	8	9	10	11

因此，总的阵型有1+2+3+…+11=66种

答：一共有66种阵型。

12、老师说最后一位数字错了，说明前三位数字都是对的，因此平均成绩四舍五入之后可能为：

12.60、12.61、12.62、12.63、……、12.69

在四舍五入之前平均成绩的取值范围为：12.595—12.694（保留小数点后三位）。

那么13个人的总成绩a的取值范围为：12.595×13

经计算得：163.735

每道题目得分为3，每个人的成绩都是3的倍数，总成绩也是3的倍数，且为整数。

在163.735—165.022范围内，是3的倍数，且为整数的只有165。

因此总成绩为165。

正确结果为165÷13=12.692。

四舍五入之后成绩为12.69。

答：最后结果有12.69

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