用信息学中的语言完成鸡兔同笼问题

一、基本问题

“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.

例1 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？

解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，·也就是

244÷2=122（只）.

在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数

122-88=34，

有34只兔子.当然鸡就有54只.

答：有兔子34只，鸡54只.

上面的计算，可以归结为下面算式：

总脚数÷2-总头数=兔子数.

上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法.

还说例1.

如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了

88×4-244=108（只）.

每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡

（88×4-244）÷（4-2）= 54（只）.

说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式

鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.

当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了

244-176=68（只）.

每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，

68÷2=34（只）.

说明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式

兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.

上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数.

假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.

现在，拿一个具体问题来试试上面的公式.

例2 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？

解：以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚.

现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有

蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）

=24÷8

=3（支）.

红笔数=16-3=13（支）.

答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.

对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是

8×（11+19）=240.

比280少40.

40÷（19-11）=5.

就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3.

30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.

实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数

19×10+11×6=256.

比280少24.

24÷（19-11）=3，

就知道设想6只“鸡”，要少3只.

要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.

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下面再举四个稍有难度的例子.

例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？

解：我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）.

现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是7.“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.

根据前面的公式

“兔”数=（30-3×7）÷（5-3）

=4.5，

“鸡”数=7-4.5

=2.5，

也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时.

答：甲打字用了4小时30分.

例4 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？

解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25是“总头数”.86是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是

（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）.

1998年，兄年龄是

14-4=10（岁）.

父年龄是

（25-14）×4-4=40（岁）.

因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是

（40-10）÷（3-1）=15（岁）.

这是2003年.

答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.

例5 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？

解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种.利用公式就可以算出8条腿的

蜘蛛数=（118-6×18）÷（8-6）

=5（只）.

因此就知道6条腿的小虫共

18-5=13（只）.

也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀.再利用一次公式

蝉数=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）.

因此蜻蜓数是13-6=7（只）.

答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉.

例6 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？

解：对2道、3道、4道题的人共有

52-7-6=39（人）.

他们共做对

181-1×7-5×6=144（道）.

由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）÷2=2.5）.这样

兔脚数=4，鸡脚数=2.5，

总脚数=144，总头数=39.

对4道题的有

（144-2.5×39）÷（4-1.5）=31（人）.

答：做对4道题的有31人.

习题一

1.龟鹤共有100个头，350只脚.龟、鹤各多少只？

2.学校有象棋、跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？

3.一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个？

4.某人领得工资240元，有2元、5元、10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多.那么2元、5元、10元各有多少张？

5.一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天.甲先做了多少天？

6.摩托车赛全程长281千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路（3千米）、一段平路（4千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的；有的是由一段上坡路（3千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的.已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？

7.用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张？

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二、“两数之差”的问题

鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？

例7 买一些4分和8分的邮票，共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？

解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.

（680-8×40）÷（8+4）=30（张），

这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张.

因此8分邮票有

40+30=70（张）.

答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张.

也可以用任意假设一个数的办法.

解二：譬如，假设有20张4分，根据条件“8分比4分多40张”，那么应有60张8分.以“分”作为计算单位，此时邮票总值是

4×20+8×60=560.

比680少，因此还要增加邮票.为了保持“差”是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是

（680-4×20-8×60）÷（4+8）=10（张）.

因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.

例8 一项工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天

工程要多少天才能完成？

解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有

（150-8×3）÷（10+8）= 7（天）.

雨天是7+3=10天，总共

7+10=17（天）.

答：这项工程17天完成.

请注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个.这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系.

总脚数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？

例9 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？

解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷2=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是

（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）.

鸡是

100-38=62（只）.

答：鸡62只，兔38只.

当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是

（100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）.

也可以用任意假设一个数的办法.

解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是

4×50-2×50=100，

比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是

（100-28）÷（4+2）=12（只）.

兔只数是

50-12=38（只）.

另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”.

例10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字.有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.

解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差

13×5×4+20=280（字）.

每首字数相差

7×4-5×4=8（字）.

因此，七言绝句有

28÷（28-20）=35（首）.

五言绝句有

35+13=48（首）.

答：五言绝句48首，七言绝句35首.

解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是20×23=460（字），28×10=280（字），五言绝句的字数，反而多了

460-280=180（字）.

与题目中“少20字”相差

180+20=200（字）.

说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加

200÷8=25（首）.

五言绝句有

23+25=48（首）.

七言绝句有

10+25=35（首）.

在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7、例9和例10三个问题，当然也可以这样假设.现在来具体做一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事.

例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是

（680-8×40）÷（8+4）=30（张）.

例9，假设都是兔，鸡的只数是

（100×4-28）÷（4+2）=62（只）.

10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是

（20×13+20）÷（28-20）=35（首）.

首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢？

当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.

例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？

解：如果没有破损，运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是

（400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）.

答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶.

请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？

例12 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？

解一：如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是

8×6-2×（15-6）=30（分）.

两次相差

120-30=90（分）.

比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少

6+10=16（分）.

（90-10）÷（6+10）=5（题）.

因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）.

第一次得分

5×19-1×（24- 9）=90.

第二次得分

8×11-2×（15-11）=80.

答：第一次得90分，第二次得80分.

解二：答对30题，也就是两次共答错

24+15-30=9（题）.

第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.

如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答错题数是

（6×9+10）÷（6+10）=4（题）·

第一次答错 9-4=5（题）.

第一次得分 5×（24-5）-1×5=90（分）.

第二次得分 8×（15-4）-2×4=80（分）.

习题二

1.买语文书30本，数学书24本共花83.4元.每本语文书比每本数学书贵0.44元.每本语文书和数学书的价格各是多少？

2.甲茶叶每千克132元，乙茶叶每千克96元，共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元.问每种茶叶各买多少千克？

3.一辆卡车运矿石，晴天每天可运16次，雨天每天只能运11次.一连运了若干天，有晴天，也有雨天.其中雨天比晴天多3天，但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天？

4.某次数学测验共20道题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分.小华得了76分.问小华做对了几道题？

5.甲、乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分.每人各射10发，共命中14发.结算分数时，甲比乙多10分.问甲、乙各中几发？

6.甲、乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地，在停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地.已知两人同时分别从甲、乙两地出发，经过4小时后，他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度.

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三、从“三”到“二”

“鸡”和“兔”是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法，也可以看出，要把“三种”转化成“二种”来考虑.这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法.

例13 学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支？

解：从条件“铅笔数量是圆珠笔的4倍”，这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作

（0.60×4+2.7）÷5=1.02（元）.

现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用“鸡兔同笼”公式可算出，钢笔支数是

（300-1.02×232）÷（6.3-1.02）=12（支）.

铅笔和圆珠笔共

232－12＝220（支）.

其中圆珠笔

220÷（4+1）=44（支）.

铅笔

220-44=176（支）.

答：其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支.

例14 商店出售大、中、小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每个1元.张老师用120元共买了55个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？

解：因为总钱数是整数，大、小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数，而且还是3的整数倍.我们设想买中球、小球钱中各出3元.就可买2个中球，3个小球.因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是

（1.5×2+1×3）÷（2+3）=1.2（元）.

从公式可算出，大球个数是

（120-1.2×55）÷（3-1.2）=30（个）.

买中、小球钱数各是

（120-30×3）÷2=15（元）.

可买10个中球，15个小球.

答：买大球30个、中球10个、小球15个.

例13是从两种东西的个数之间倍数关系，例14是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法），把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种东西的平均价，就把“三”转化成“二”了.

例15是为例16作准备.

例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米，回来时下坡速度为每小时走6千米，求他的平均速度是多少？

解：去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提.

平均速度=所行距离÷所用时间

去时走1千米，要用20分钟；回来时走1千米，要用10分钟.来回共走2千米，用了30分钟，即半小时，平均速度是每小时走4千米.

千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走（6+3）÷2=4.5千米.

例16 从甲地至乙地全长45千米，有上坡路、平路、下坡路.李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米？

解：把来回路程45×2=90（千米）算作全程.去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成“一种”路程，根据例15，平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的“鸡兔同笼”问题.头数10+11=21，总脚数90，鸡、兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是

（90-4×21）÷（5-4）=6（小时）.

单程平路行走时间是6÷2=3（小时）.

从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是

45-5×3=30（千米）.

又是一个“鸡兔同笼”问题.从甲地至乙地，上坡行走的时间是

（6×7-30）÷（6-3）=4（小时）.

行走路程是3×4=12（千米）.

下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是6×3=18（千米）.

答：从甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米.

做两次“鸡兔同笼”的解法，也可以叫“两重鸡兔同笼问题”.例16是非常典型的例题.

例17 某种考试已举行了24次，共出了426题.每次出的题数，有25题，或者16题，或者20题.那么，其中考25题的有多少次？

解：如果每次都考16题，16×24=384，比426少42道题.

每次考25道题，就要多25-16=9（道）.

每次考20道题，就要多20-16=4（道）.

就有

9×考25题的次数+4×考20题的次数=42.

请注意，4和42都是偶数，9×考25题次数也必须是偶数，因此，考25题的次数是偶数，由9×6=54比42大，考25题的次数，只能是0，2，4这三个数.由于42不能被4整除，0和4都不合适.只能是考25题有2次（考20题有6次）.

答：其中考25题有2次.

例18 有50位同学前往参观，乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元，问其中乘小巴的同学有多少位？

解：由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍.

如果有30人乘电车，

110-1.2×30=74（元）.

还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.

如果有40人乘电车

110-1.2×40=62（元）.

还余下50-40=10（人）都乘地下铁路前往，钱还有多（62＞6×10）.说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间，只有35是5的整数倍.

现在又可以转化成“鸡兔同笼”了：

总头数 50-35=15，

总脚数 110-1.2×35=68.

因此，乘小巴前往的人数是

（6×15-68）÷（6-4）=11.

答：乘小巴前往的同学有11位.

在“三”转化为“二”时，例13、例14、例16是一种类型.利用题目中数量比例关系，把两种东西合并组成一种.例17、例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数，以及总量的限制，其中某一个数只能是几个数值.对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数，也就变成“二”的问题了.在小学算术的范围内，学习这两种类型已足够了.更复杂的问题，只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解.

习题三

1.有100枚硬币，把其中2分硬币全换成等值的5分硬币，硬币总数变成79个，然后又把其中的1分硬币换成等值的5分硬币，硬币总数变成63个.求原有2分及5分硬币共值多少钱？

2.“京剧公演”共出售750张票得22200元.甲票每张60元，乙票每张30元，丙票每张18元.其中丙票张数是乙票张数的2倍.问其中甲票有多少张？

3.小明参加数学竞赛，共做20题得67分.已知做一题得5分，不答得2分，做错一题倒扣3分.又知道他做错的题和没答的题一样多.问小明共做对几题？

4.1分、2分和5分硬币共100枚，价值2元，如果其中2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分.问三种硬币各多少枚？

注：此题没有学过分数运算的同学可以不做.

5.甲地与乙地相距24千米.某人从甲地到乙地往返行走.上坡速度每小时4千米，走平路速度每小时5千米，下坡速度每小时6千米.去时行走了4小时50分，回来时用了5小时.问从甲地到乙地，上坡、平路、下坡各多少千米？

6.某学校有12间宿舍，住着80个学生.宿舍的大小有三种：大的住8个学生，不大不小的住7个学生，小的住5人.其中不大不小的宿舍最多，问这样的宿舍有几间？

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2000年某市青少年信息学奥林匹克小学组复赛试题

测验题

1.松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个. 它一连几天采了112个松籽，平均每天采14个. 问这几天当中有几天有雨？

2.有一水池，只打开甲水龙头要24分钟注满水池，只打开乙水龙头要36分钟才注满水池.现在先打开甲水龙头几分钟，然后关掉甲，打开乙水龙头把水池注满.已知乙水龙头比甲水龙头多开26分钟.问注满水池总共用了多少分钟？

3.某工程甲队独做50天可以完成，乙队独做75天可以完成.现在两队合做，但是中途乙队因另有任务调离了若干天.从开工后40天才把这项工程做完.问乙队中途离开了多少天？

4.小华从家到学校，步行一段路后就跑步.他步行速度是每分钟600 ，跑步速度是每分钟140米.虽然步行时间比跑步时间多4分钟，但步行的距离却比跑步的距离少400米.问从家到学校多远？

5.有16位教授，有人带1个研究生，有人带2个研究生，也有人带3个研究生.他们共带了27位研究生.其中带1个研究生的教授人数与带2、3个研究生的教授人数一样多.问带2个研究生的教授有几人？

6.某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种：一等奖1000元，二等奖250元，三等奖50元.共有100人中奖，奖金总额为9500元.问二等奖有多少名？

7.有一堆硬币，面值为1分、2分、5分三种，其中1分硬币个数是2分硬币个数的11倍.已知这堆硬币面值总和是1元，问5分的硬币有多少个？

查看下一页是习题一、二、三和测验题的答案

习题一

1.龟75只，鹤25只.

2.象棋9副，跳棋17副.

3.2分硬币92个，5分硬币23个.

应将总钱数2.99元分成2×4+5=13（份），其中2分钱数占2×4=8（份），5分钱数占5份.

4.2元与5元各20张，10元有10张.

2元与5元的张数之和是

（10×50-240）÷［10-（2+5）÷2］=40（张）.

5.甲先做了4天.

提示：把这件工程设为36份，甲每天做3份，乙每天做2份.

6.第一种路段有14段，第二种路段有11段.

第一种路段全长13千米，第二种路段全长9千米，全赛程281千米，共25段，是标准的“鸡兔同笼”.

7.最多可买1角邮票6张.

假设都买4分邮票，共用4×15=60（分），就多余100-60=40（分）.买一张1角邮票，可以认为40分换1角，要多6分.40÷6=6……4，最多买6张.最后多余4分，加在一张4分邮票上，恰好买一张8分邮票.

习题二

1.语文书1.74元，数学书1.30元.

设想语文书每本便宜0.44元，因此数学书的单价是

（83.4-0.44×30）÷（30+24）.

2.买甲茶3.5千克，乙茶8.5千克.

甲茶数=（96×12-354）÷（132+96）=3.5（千克）

3.一连运了27天.

晴天数=（11×3+27）÷（16-11）=12（天）

4.小华做对了16题.

76分比满分100分少24分.做错一题少6分，不做少5分.24分只能是6×4.

5.甲中8发，乙中6发.

假设甲中10发，乙就中14-10=4（发）.甲得4×10=40（分），乙得5×4-3×6= 2（分）.比题目条件“甲比乙多10分”相差（40-2）-10=28（分），甲少中1发，少4+2=6（分），乙可增5+3=8（分）.

28÷（6+8）=2.

甲中10-2=8（发）.

6.小张速度每小时6千米，小王速度每小时4.5千米.

王的速度是每小时

注：为了避免分数运算，路程以米为单位，时间以分钟为单位，就可以达到目的.

习题三

1.原有2分和5分80个.

2.甲票有150张.

两张丙票与一张乙票平均价是

（3+18×2）÷（1+2）=22（元），

甲票数=（22200-22×750）÷（60-22）=150（张）.

3.小明做对14题.

一题不答，与一题做错，平均分倒扣0.5分.（注意不是2.5分）

做对题数=（67+20×0.5）÷（5+0.5）=14（题）.

4.1分51个，2分32个，5分17个.

假设再有13个1分硬币加入其中.这样2分币值就与1分币值相等.1个

不过要注意，此时硬币个数为100+13=113（个），总币值为200+13=213（分）.

5.从甲地到乙地平路10千米，上坡6千米，下坡8千米.

我们提供一个与例16稍不同的解法.距离=速度×时间 也可写成

上坡速度每小时4千米，也可以说每千米用15分钟，下坡是每千米用

时间总共290+300=590（分钟）作“总脚数”，来回距离24×2=48（千米）为“头数”，两种“脚数”是15与10的平均数12.5与12.因此来回平路的行程是

（12.5×48-590）÷（12.5-12）=20（千米）.

单程平路10千米，行走时间120分种，从甲地到乙地，上坡距离是

［（290-120）-（24-10）×10］÷（15-10）=6（千米）.

下坡距离=14-6=8（千米）.

取速度的倒数作“脚数”，是为了计算方便，10，12，15毕竟是很好算的数，可以避免分数运算.

方法是死的，关键在于灵活运用，上面这一题就是例证.

6.不大不小的宿舍是7间.

如果12间都是小的，只能住60人，还有20人未住下.大的每间可以多8-5=3（人），不大不小每间多住7-5=2（人）.

20是偶数，大的间数一定是偶数，不大不小最多，就要使大的尽可能少.大的最少是2间，不大不小是（20-3×2）÷2=7（间）.

小的是12-2-7=3（间），7最大.

如果没有“不大不小宿舍最多”这一条件，本题就有三种解答.大的间数，可以是2，4，6三个数.

测验题

1.有6天雨天.

2.注满水池总共用了34分钟.

把水池容量设为72份，甲龙头每分钟注入3份，乙龙头每分钟注入2份，甲龙头打开时间是

（72-2×26）÷（3+2）=4（分钟）.

3.乙队中途离开了25天.把这件工程看作150份，甲队每天做3份，乙队每天做2份.

4.从家到学校1840米.跑步的时间是

（60×4+400）÷（140-60）=8（分钟）.

5.5人.提示：带2，3个研究生的教授人数是16÷2=8（人）.他们共带27-8=19（个）研究生.

6.二等奖13名.

设都是三等奖，奖金就多下9500-50×100=4500（元），一个一等奖要增加1000-50=950（元），一个二等奖要增加250-50=200（元）.因此

950×一等奖个数+200×二等奖个数=4500（元）.

很明显一等奖个数是偶数，2，4，6，….6×950＞4500.4×950余下的钱就不能被200整除，因此一等奖个数只能是2.

二等奖个数是

（4500－950×2）÷200=13（个）.

7.有5分硬币7个.

把2分的看成2个1分，1分的个数是2分的11倍.因此2分与1分硬币的钱数（以分为单位）总和一定是2+11=13的倍数.

2分、1分总钱数+5分总钱数=100（分）

上面算式中，有两项是5的倍数，因此2分与1分总钱数也一定是5的倍数.

2分、1分总钱数，要同时是5与13的倍数，它只能是65分.

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