小学六年级每日一题
已知定由若大于3的三个质数a、b、c满足关系式2a+5b=c,则a+b+c是整数n的倍数.试问:这个定理中的整数n的最大可能值是多少?请证明你的结论.
解答:先将a+b+c化为3(a+2b)的形式,说明a+b+c是3的倍数,然后利用整除的性质对a、b被3整除后的余数加以讨论得出a+2b也为3的倍数.
∵ =a+b+2a+5b=3(a+2b),
显然,3│a+b+c
若设a、b被3整除后的余数分别为ra、rb,则ra0, rb 0.
若rarb,则ra=2,rb=1或ra=1,rb=2,则2a+5b =2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3),或者2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2);3(2P+59+4),即2a+5b为合数与已知c为质数矛盾.
只有ra=rb,则ra=rb=1或ra=rb=2.
于是a+2b必是3的倍数,从而a+b+c是9的倍数.
又2a+5b=211十55=47时,=
a+b+c=11+5+47=63,
2a+5b =213十57=61时,
a+b+c =13+7+61=81,
而(63,81)=9,故9为最大可能值.
【小结】由余数切入进行讨论,是解决整除问题的重要方法.
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