第一讲 机智与顿悟
数学需要踏实与严谨，也含有机智与顿悟．
例1 在美国把5月2日写成5/2，而在英国把5月2日写成2/5．问在一年之中，在两国的写法中，符号相同的有多少天？
解：一年中两国符号相同的日子共有12天．
它们是：一月一日 1/1 七月七日 7/7
二月二日 2/2 八月八日 8/8
三月三日 3/3 九月九日 9/9
四月四日 4/4 十月十日 10/10
五月五日 5/5 十一月十一日 11/11
六月六日 6/6 十二月十二日 12/12
注意由差异应当想到统一，有差异就必须有统一，仔细想一想这道题就会有所领悟．
例2 有一个老妈妈，她有三个男孩，每个男孩又都有一个妹妹，问这一家共有几口人？
解：全家共有5口人．妹妹的年龄最小，她是每一个男孩的妹妹．如果你列出算式：
1个妈妈+3个男孩+3个妹妹=7口人那就错了．
为什么呢？请你想一想．
例3 小明给了小刚2支铅笔，他们俩的铅笔数就一样多了，问小明比小刚多几支铅笔？
解：小明比小刚多4支铅笔．
注意，可不是多2支；如果只多2支的话，小明给小刚后，小刚就反而比小明多2支，不会一样多了．
例4 小公共汽车正向前跑着，售票员对车内的人数数了一遍，便说道，车里没买票的人数是买票的人数的2倍．你知道车上买了票的乘客最少有几人吗？
解：最少1人．因为售票员和司机是永远不必买票的，这是题目的“隐含条件”．有时发现“隐含条件”会使解题形势豁然开朗．
例5 大家都知道：一般说来，几个数的和要比它们的积小，如2+3+4比2×3×4小．那么请你回答：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这几个数相加的和大还是相乘的积大？
解：和大．注意：“0”是个很有特点的数．
①0加到任何数上仍等于这个数本身；
②0乘以任何数时积都等于0；
把它们写出来就是：
0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
0×1×2×3×4×5×6×7×8×9=0
所以，应当重视特例．
例6 两个数的和比其中一个数大17，比另一个数大15，你知道这两个数都是几？你由此想到一般关系式吗？
解：这两个数就是17和15．
因为它们的和比15大17，又比17大15．
由一个特例联想、推广到一般，是数学思维的特点之一．
此题可能引起你如下联想：
和-15=17，
那么和=15+17．
一般和=一个数+另一个加数，
或写成：和-一个加数=另一个加数，
或写成：被减数-减数=差，
也可写成：被减数-差=减数．
以上这些都是你从课本上学过的内容，这里不过是把它们联想到一起罢了．
学数学要注意联想，学会联想才能融会贯通．
例7 小明和小英一同去买本，小明买的是作文本，小英买的是数学本．已知小英买的数学本的本数是小明买的作文本的2倍．又知一本作文本的价钱却是一本数学本的价钱的2倍，请问他俩谁用的钱多？
解：他俩花的钱一样多．
可以这样想：因为作文本的价钱是数学本的2倍，所以把买作文本的钱用来买数学本，同样多的钱所买到的本数应该是作文本的2倍，这刚好与题意相符．可见两人花的钱一样多．
结论是隐含着的，推理就是要把它明明白白地想通，写出来的推理过程就叫“证明”，这是同学们现在就可以知道的．
例8 中午放学的时候，还在下雨，大家都盼着晴天．小明对小英说：“已经连续三天下雨了，你说再过36小时会出太阳吗？”小朋友你说呢？
解：不会出太阳．因为从中午起再过36个小时正好是半夜．而阴雨天和夜里是不会出太阳的．
注意：解题的第一要义是首先明确“问什么”，而且要紧紧抓住“问什么”？“问什么”是思考目标，这就好比小朋友走着来上学，学校是你走路的目的，试想，如果你走路没有目标，结果会怎样？本题迷惑人的地方就是想用阴天下雨把你的注意力从应当思考的目标引开，给你的思维活动造成干扰．学会删繁就简，抓住目标，将会大大地提高你的解题效率．
例9 一位画家想订做一个像框，用来装进他的立体画．他画了一张像框的尺寸图拿给你看（右图），请你帮他算算，需要多长的材料才能做好？（画家说，材料粗细要求一样，形状尺寸一定要按图示加工，拐角部分都要做成直角）．
解：不管多长的材料，像框也无法做成．
从每一部分来说，这个图看来是合理的，但从整体上看，这个图是“荒谬的”、“失调的”．用一句普通的话说，就是“有点不对劲的”．请你注意，对现实生活觉得有点不对劲的感觉是创造性的起因．
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