四年级数学思维训练引导例题详解――整数与数列（二）
1、如图1-1所示的表中有55个数，那么它们的和加上多少才等于1994？
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61
2 8 14 20 26 32 38 44 50 56 62
3 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63
4 10 16 22 28 34 40 46 52 58 64
5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65
解答：它们的和=3×5+9×5+15×5+21×5+27×5+33×5+39×5+45×5+51×5+57×5+63×5
=（33×11）×5
=1815
[或者：它们的和=（31+32+33+34+35）×11=1815]
1994-1815=179
答：它们的和加上179才等于1994。
2、计算：1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101。
解答：1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101
=（1000+999-998-997）+（996+995-994-993）+……+（108+107-106-105）+（104+193-102-101）
=4+4+……+4+4
=［（1000-101）÷1+1］÷4×4
=900
3、计算：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）。
解答：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）
=1+（3-2）+（5-4）+……+（1989-1988）
=1+1×（1989-1）÷2
=1+994
=995
4、利用公式l×l+2×2+……+n×n＝n×（n+1）×（2×n+1）÷6，计算：15×15+16×16+……+21×21。
解答：15×15+16×16+……+21×21
=21×（21+1）×（2×21+1）÷6-14×（14+1）×（2×14+1）÷6
=3311-1015
=2296
5、计算：20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1。
解答：20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1
=（20+19）×（20-19）+（18+17）×（18-17）+……+（2+1）×（2-1）
=210
6、计算：3333×5555+6×4444×2222。
解答：3333×5555+6×4444×2222
=3×1111×5×1111+6×1111×4×2×1111
=15×1111×1111+48×1111×1111
=（15+48）×1111×1111
=63×1111×1111
=7×9×1111×1111
=9999×7777
=（10000-1）×7777
=77770000-7777
=77762223
7、计算：19931993×1993-19931992×1992-19931992。
解答：19931993×1993-19931992×1992-19931992
=19931993×1993-（19931992×1992+19931992）
=19931993×1993-19931992×（1992+1）
=19931993×1993-19931992×1993
=1993×（19931993-19931992）
=1993
8、两个十位数1111111111与9999999999的乘积中有几个数字是奇数?
解答：1111111111×9999999999
=1111111111×（10000000000-1）
=11111111110000000000-1111111111
=1111111118888888889
有10个奇数
答：乘积中有10个数字是奇数。
9、我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数。已知自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，那么这两个奇数的和是多少？
解答：1111155555=11111×100005=11111×3×33335=33333×33335，33333+33335=66668
答：这两个奇数的和是66668。
10、求和：l×2+2×3+3×4+……+9×10。
解答：l×2+2×3+3×4+……+9×10
=（1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5+……+9×10×11-8×9×10）÷3
=9×10×11÷3
=3×10×11
=330
11、计算：1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8。
解答：1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8
=1！+2×2！+3×3！+4×4！+5×5！6×6！+7×7！+8×8！
=（2！-1！）+（3！-2！）+（4！-3！）+（5！-4！）+（6！-5！）+（7！-6！）+（8！-7！）+（9！-8！）
=9！-1！
=1×2×3×4×5×6×7×8×9-1
=362879
12、在两个数之间写上一个?，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例如： 13?5=3，6?2=0．试计算：（2000?49）?9．
解答：2000?49＝40，40?9＝4
答：计算结果是4。
13、羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼。以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼。这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊和狼，可以用上面规定的运算作混合运算。混合运算的法则是从左到右，括号内先算。
羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）。
解答：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）
=羊△羊☆羊△狼
=羊☆羊△狼
=羊△狼
=狼
答：运算结果是狼。
14、对于自然数1，2，3，…，100中的每一个数，把它非零数字相乘，得到100个乘积（例如23，积为2×3=6；如果一个数仅有一个非零数字，那么这个数就算作积，例如与100相应的积为1）。问：这100个乘积之和为多少?
解答：1，2，……，9，和是45；11，12，……，19，和是1×45；21，22，……，29，和是2×45；……；91，92，……，99，和是9×45；10，20，……，90，和是45；100的为1。
总和是（1+1+2+3+……+9+1）×45+1
＝47×45+1
=2116
答：这100个乘积之和是2116。
15、从1到1989这些自然数中的所有数字之和是多少？
解答：把1到1998之间的所有自然数，都表示成四位数字的形式：0001，0002，0003，……，1989，……，1996，1997，1998。从两头开始配对组合：（0001+1998），（0002+1997），（0003+1996），……共999对。每对的四位数字之和都是1+9+9+9=28，所以1到1998的数字和是28×999=27972。
多算了1990到1998的数字和，即多算了1×9+9×9+9×9+1+2+3+4+5+6+7+8=207。27972-207=27765
答：从1到1989这些自然数中的所有数字之和是27765。
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