一道“希望杯”数学题的多种解法

一题多解是培养人们开发思维的极好途径，不仅对课本习题可采用此法，对竞赛题也不例外，请看一道竞赛题的几种不同解法，也许对提高我们的解题能力有所启发。

题目：计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+1993+1994-1995-1996+1997+1998-1999-2000，最后结果是（ ）

（A）0 （B）-1

（C）1999 （D）-2000

（第十届“希望杯”初一培训题）

原题所给的参考答案为：

原式=1+（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+（10-11-12+13）+…+（1994-1995-1996+1997）+（1998-1999）-2000=1+0+0+…+0-1-2000=-2000，故选（D）。

以上解法我们权且称作不均匀分组法。下面我们再给出几种不同解法。

解法一：观察法

∵1+2-3-4=-4，1+2-3-4+5+6-7-8=-8，1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12=-12，…

经观察知，每一“片断”的代数和均为参加运算的最后一个数，故原式=-2000，选（D）。

解法二：小段均匀分组法

将式中每连续4个数分为一组，则有1+2-3-4=-4，5+6-7-8=-4，9+10-11-12=-4，…，∴2000÷4=500（组），故原式=500×（-4）=-2000.

解法三：凑零法

∵-0+1+2-3=0，-4+5+6-7=0，…，-1996+1997+1998-1999=0，∴原式=0+0+…+0-2000=-2000.

解法四：大段均匀分组法

按个位数0，1，2，3，…，8，9分为一大组，进行计算，则有

1+2-3-4+5+6-7-8+9=-0+1+2-3-4+5+6-7-8+9=1，

又10-11-12+13+14-15-16+17+18-19=-1

而-20+21+22-23-24+25+26-27-28+29=1

另外：30-31-32+33+34-35-36+37+38-39=-1，…

1990-1991-1992+1993+1994-1995-1996+1997+1998-1999=-1.

∴原式=1-1+1-1+…+1-1-2000=0+0+…+0-2000=-2000.

解法五：添数法

每一个方框数之和为-2，而这样的方框有1000个，将每个方框中添加2，故有：原式+2000=0.

∴原式=-2000.

解法六：隔数相加法

在1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+1993+1994-1995-1996+1997+1998-1999-2000中

隔数相加：如1-3=-2，2-4=-2，5-7=-2，…，这样的数对共有1000对，∴原式=-2×1000=-2000.

解法七：倒序错位相加法

令1+2-3-4+5+6-7-8+…+1997+1998-1999-2000=T

∴有1+2-3-4+5+6-7-8+…+1997+1998-1999-2000

故2T=3-2003-2003+3=-4000，∴T=-2000.

以上几种解法各有千秋。繁简程度各异，仅体现了不同的思维方式，也展现了思维的广阔性和灵活性，有助于我们拓展视野。

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