四年级华杯赛备考每日一题（2.20）

距离四年级华杯赛(3月17号)的时间越来越近了，为了让大家更好的备战这一次的四年级华杯赛，永佳老师从今天开始每天都会以每日一题的形式给大家对华杯赛所有可能考到的模块进行一次回顾，希望大家能坚持做题，在华杯赛中获得好成绩!

由于四年级华杯赛是第一年举行，老师会在往年的其他杯赛中选取接近难度的题目，让大家能对四年级华杯赛的难度和考法有更清晰的认识。

规则是这样的，每天早上老师都会更新一道题目，同学们有做出来的就直接回帖把答案和过程放上来，答对的会有金币奖励!老师会在第二天放出上一天的答案详解。另外对于觉得一道题太少的同学，老师还会附上几道拓展的题目，做出来的同学同样可以回帖，答案同样会在第二天放出。

今天继续是计数问题，今天是第三个专题，排列问题。排列问题是计数问题里面相对比较复杂的问题，而且也是组合问题的基础~特别是捆绑法和插空法是排列问题中最常见的技巧，一定要熟练掌握~

（2月20号）三个老师和五个学生排成一列照相，要求三个男同学不相邻，两个女同学必须相邻，而三个老师必须相邻，那么一共有_______种不同排法

拓展题：用3,5,5,5,7,8,8这7个数字可以组成_______个不同的七位数，其中有________个是5的倍数。

答案明天公布!!

赶快做一做吧!答对奖励金币哦!

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查看昨日答案请点击下页

在公布昨天答案之前，我们还是一起来回顾一下加乘原理分别的应用范围吧：

1、加法原理：完成一件事情的不同方法，每一种方法都可以独立的完成任务

2、乘法原理：完成一件事情的不同步骤，每个步骤都是缺一不可的。

加乘原理本身并不难，关键在于当遇到分类讨论的时候，分类一定不能出错。

（2月19号答案）用数字0,1,2,3,4,5一共可以组成_____个没有重复数字且能被5整除的四位数

遇到这种数字问题的计数，显然是要利用加乘原理。而在用加乘原理的时候，首先要确定特殊位。这道题目中，四位数的特殊位有两个，一个是首位不能是0，另一个是末位只能是0或者5；

在有两个特殊位的时候首先讨论末位：由于末位可以有0，而0又不能出现在首位，所以需要分类讨论（因为如果末位是0，首位有5种选择；而末位是5，首位只有4种选择）：

（1）当末位是0时，首位有5种选择（1,2,3,4,5），第二位有4种（第一位选走了一个数字），第三位有3种，所以总共有 5×4×3=60（种）

（2）当末位是5时，首位有4种选择（1,2,3,4），第二位有4种（选走了一个，但0也可以选），第三位有3种，所以总共有 4×4×3=48（种）

这两种情况是相互独立的，所以利用加法原理，总共有 60+48=108（种）不同的没有重复数字且能被5整除的四位数。

拓展题：在所有的四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？

这道题难就难在分类，把类分好了就基本等于做出来了。我们一起来看看怎么分类：

首先，四位数没有要求无重复数字，也没有其他对某一位上的要求，所以特殊位其实就只有0不能出现在最前面。因此，分类的时候，只需要讨论0的个数。

（1）有3个0：4=4+0+0+0，这种情况下只有一个数，4000；

（2）有2个0：4=3+1+0+0=2+2+0+0，这两种情况要分别讨论：

（a)3+1+0+0：第一位有2种选择，选完第一位之后剩下三个位有两个0,两个0有3种不同的排法（00X，0X0，X00）， 所以一共有2×3=6（种）

（b)2+2+0+0：第一位只有1种选择，然后剩下的三位同样是3种不同排法，所以一共有 1×3=3（种）

（3）有1个0：4=2+1+1+0，这个同样要分类讨论：

（a)如果第一位选1，第二位有3种选择，第三位有2种选择，第四位有1种选择,所以一共有 3×2×1=6（种）

（b)如果第一位选2，剩下的三个位有两个1，有3种不同的排法（110，101，001）,所以一共有 3×1=3（种）

（4）有0个0:4=1+1+1+1，这种情况下只有一个数，1111；

所以，总共有1+6+3+6+3+1=20（个）

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四年级华杯赛备考每日一练——2月15日>>

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