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2009年第三届“生活数学”六年级初赛真题及详解

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2009年第三届“生活数学”六年级初赛真题及详解。

一．巧妙设计（40分）

1. 巧增面积。

有一些大小完全相同的正方体积木，准备在这些积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数字。但全部积木的表面积不够用，还需增加一倍，在不另添积木的情况下，把积木的各面面积的总和增加一倍。你能设计一个最佳的割锯方案吗？每块积木需割锯（）次。

答案：3次。

解题思路：显然，最合理的方案是所割得的小块仍然是正方体，这样每个面的面积都相等且等于原正方体每个面面积的四分之一。割法是找出各条棱的中点，过上下、左右、前后相对的各两个面的相对棱中点切三次（即在水平方向、垂直方向、前后方向各切一次。）

2．智取整数。

如果：x=1（10/100）+2（10/101）+3（10/102）+……+11（10/110），那么，x的整数部分是（）。（发帖者说明：“1（10/100）”是一又一百分之十，等号右边是：一又100分之10，加上2又101分之10，加上3又102 分之10，一直加到110分之10。）

答案：67。

解题思路：原式=1+2+3+……+11+（10/100+10/101+10/102+……+10/110）

=（1+11）×11÷2+（10/100+10/101+10/102+……+10/110）

=66+（10/100+10/101+10/102+……+10/110）

因为①：（10/100+10/101+10/102+……+10/110）>（10/110）×11

（10/100+10/101+10/102+……+10/110）>1

②（10/100+10/101+10/102+……+10/110）<（10/100）×11

（10/100+10/101+10/102+……+10/110）<1（1/10）

1<（10/100+10/101+10/102+……+10/110）<1（1/10）

所以：（10/100+10/101+10/102+……+10/110）的整数部分必然是1，原式的整数部分是66+1=67。

3．神机妙算：

（1/2-1/4）+（1/4-1/6）+（1/6-1/8）+……（1/48-1/50）=（）

答案：12/25。

原式=1/2-1/50=24/50=12/25

4．等式设计：

用三个不同的自然数组成一个等式：□+△+○=□×△+○

这三个数中最多有几个奇数？为什么？

答案：最多有一个奇数。

理由：

如果有两个奇数，等式左边是两个奇数的和加一个偶数，三数和必然为偶数，等式右边必然是以下两种情况之一：①奇数×奇数+偶数=奇数，②奇数×偶数+奇数=奇数，无论是①②中的哪种情况，右边都是奇数，不可能与左边的偶数结果相同；

如果有三个奇数，等式左边是奇数+奇数+奇数=奇数，右边是奇数×奇数+奇数=偶数，左右两边也不可能相等。

综上所述，无论是两个奇数还是三个奇数，都不能使等式成立，所以，三个数中只能有一个奇数。

二．趣味游戏（40分）

5．如下图：将它折成一个正方体，相交于同一顶点的三个面上的数字之和最大是（）。（发布者说明：贴吧上发的绘图常常无法显示，所以下图用字符表示，每行右侧的依次标在左边正方形的中。）

□6

□□□□1342

□5

答案：13。

理由：3+4+6=13。

6．一次游泳比赛，由甲、乙、丙、丁四人参加决赛，赛前他们每人预测比赛结果。甲说：“我第一，乙第二。”乙说：“我第一，甲第四。”丙说：“我第一，乙第四。”丁说：“我第四，丙第一。”

比赛结果显示无并列名次，且各人都只说对了一半。比赛结果是：甲（），乙（），丙（），丁（）。

答案：甲第四，乙第二，丙第一，丁第三。

参考思路：

根据题意归纳四人说法：

甲：甲第一，乙第二；

乙：乙第一，甲第四；

丙：丙第一，乙第四；

丁丁第四，丙第一。

注意到丙和丁都说“丙第一”，假定这个说法正确，因为每个人的说法都只说对了一半，那么“乙第四”“丁第四”的说法都不正确，“甲第一”“乙第一”的说法也不正确，“乙第二”，“甲第四”的说法便正确，得到名次为丙第一，乙第二，甲第四，第三名便只能是丁了。

也可以由其他说法开始假设推论，得到的答案是相同的。

7．为喜迎2009年元旦的到来，学校要组织游艺活动，大家正在给会场悬挂彩球。真巧，挂出的彩球依次是：5红（连续5个都是红球）、4黄、3绿、2紫、1白，5红、4黄、3绿、2紫、1白……猜一猜：如此继续下去，到第2009个彩球应该是（）颜色。

答案：紫。

思路：注意到，“5红、4黄、3绿、2紫、1白”共15个彩球为一个周期，2009÷15=133……14，即133个周期之后往后数14个，是紫色球。

8．有一种瓶子的瓶身如下图所示，容积是300立方厘米。现在它的里面装有一些水，正放是水的高度为20厘米，倒放时空余部分水的高度为5厘米。瓶内现有水（）立方厘米。

（图形说明：瓶子下半截为圆柱形，上半截为不规则形状，左图瓶底朝下，盛水部分全为圆柱形，盛水部分水深为20cm，右图瓶子倒置，瓶口封紧朝下，瓶底朝上，水面离瓶底5cm。)

答案：240（立方厘米）

较简单的一种思路：右图的空余部分与左图的空余部分容积是相同的，所以瓶子的容积等于盛水部分与空余部分的和，也就等同于一个内部高为 20+5cm的圆柱体的容器的容积。盛水部分的容积与空余部分容积的比为20∶5=4∶1。所以瓶内现有水300×20/（4+1）=240立方厘米。

三．问题解决（80分）

9．学校购进一批球，共三种，其中排球150个，篮球个数和总个数的比是1∶3，足球的个数与其他两种球的总个数之比是1∶5。学校共购进（）个球。

答案：300个。

思路：足球的个数与其他两种球的总个数之比是1∶5，那么足球与三种球之和（总个数）的比是1∶6。题中已知，篮球个数和总个数的比是 1∶3，1∶3=2∶6，那么足球∶总个数∶篮球=1∶6∶2，即如果购入球的总数是6份，其中足球占1份，篮球占2份，那么排球占6-1-2=3份，即总个数的一半，150÷1/2=300个。

10.两支粗细、长短不同的蜡烛，长的一支可以点6小时，短的一支可以点9小时，将他们同时点燃，两小时后，两支蜡烛所余下的长度正好相等。原来短蜡烛的长度是长蜡烛长度的（）。

答案：6/7（7分之6）。

思路：长蜡烛可点6小时，2小时点了1/3（3分之1），还剩2/3；短蜡烛可以点9小时，2小时点了2/9，还剩7/9。两支蜡烛所余下的长度正好相等，所以短蜡烛长度×7/9=长蜡烛×2/3。由此可得：短蜡烛长度∶长蜡烛长度=2/3∶7/9=6∶7，即原来短蜡烛的长度是长蜡烛长度的6 /7。

11．一个商人，将弹子放进两种盒子里，大盒子（每盒）装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数99，盒子数大于9，问：大盒子装（）个，小盒子装（）个。

答案：大盒子装（7或2）个，小盒子装（3 或15）个。

思路：根据题意，设大盒装了x盒，小盒装了y盒，得不定方程12x+5y=99，此方程有两组整数解，x=7,y=3或者x=2,y=15,两组解均符合盒子数大于9的要求。

12.用浓度分别为55%和10%的盐水配制成浓度为25%的盐水12克，浓度为55%和10%的盐水各需取（）克和（）克。

答案：4克和8克。

解题方法之一：解：设需取55%的盐水x克，那么10%的盐水需要取12-x克。

55%x+10%(12-x)=12×25% 解方程得：x=4，那么12-x=8（克）

13.甲乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间每分钟行80米，后一半时间每分钟行70米。他行后一半路程用了（）分钟。

答案：42.5分钟。

一种较简捷的解题思路：前一半时间与后一半时间是相等的，时间相同，所行的路程与速度成正比，前一半时间行路速度与后一半时间行路速度的比是 80∶70=8∶7，也就是说，前一半时间所走的路程与后一半时间所走的路程的比是8∶7，这样，可以把前后两段时间所走的路程按比例分配为：前一半时间走的路程=6000×8/（8+7）=3200（米），后一半时间走的路程=6000×7/（8+7）=2800。所以，后一半路程（3000米）中开始 200米耗时200÷80=2.5分钟，后来2800米耗时2800÷70=40分钟。后一半路程共耗时2.5+40=42.5分钟。

14.据测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的，那么，为满足人类不断发展的需要，地球最多能养活（）亿人。

答案：70亿人。

解题方法之一：这实则是一道牛吃草问题。“为满足人类不断发展的需要，地球最多能养活（）亿人。”实际上就是说地球新生成的资源每年增长的部分每年能养活多少人（相当于牛吃草问题中草地上每天（或每周）新生长的草可供多少头牛吃。

（80×300-100×100）÷（100-80）=70（亿人）

15.在3点到4点之间，分针和时针在（）时刻位于一条直线上。

答案：49（1/11）[49又11分之1分钟]

思路：3点整时，分针落后于时针90°，即15个分钟格，而位于一条直线上，分针与时针成180°的角（相差30个分钟格），分针要与时针在一条直线上，就要追上时针并超过时针30格，15+30=45，45÷（11/12）=49（1/11）。

16．一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时，若甲做1小时后由乙接替甲做1小时，再由甲解题乙做1小时，……两人如此交替工作，问完成任务时需共用（）小时。

答案：14（1/3）小时（14又3分之1小时）。

解答：甲乙两人依次各做1小时为一轮，合计完成1/12+1/18=5/36， 5/36×7=35/36，1-35/36=1/36，即7轮后还剩下1/36的工作还没有做。此时轮到甲做，还需要1/36÷1/12=1/3小时，2×7+1/3=14（1/3）小时。

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