小学奥数知识点总结之:余数、同余与周期
余数、同余与周期
一、同余的定义:
①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(modm),读作a同余于b模m。
二、同余的性质:
①自身性:a≡a(modm);
②对称性:若a≡b(modm),则b≡a(modm);
③传递性:若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm);
④和差性:若a≡b(modm),c≡d(modm),则a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm);
⑤相乘性:若a≡b(modm),c≡d(modm),则a×c≡b×d(modm);
⑥乘方性:若a≡b(modm),则an≡bn(modm);
⑦同倍性:若a≡b(modm),整数c,则a×c≡b×c(modm×c);
三、关于乘方的预备知识:
①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征:
①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则M≡n(mod9)或(mod3);
②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11);
五、费尔马小定理:
如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(modp)。
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