陈栋老师专题讲解：复杂抽屉原则（下）
例4,有16名学生,他们的老师每个月都会分一次组,将16名同学分成2组,问至少要经过几个月,才能使该班的任意两个学生总有某个月份是在不同组的?
这道题初见也许有些同学觉得没什么头绪，但是其实这道题已经给了我们"学生"(苹果),"组"(抽屉)这2个抽屉原则中最基本的元素,那么剩下的就是计算数字而已.
1>首先将16个同学分到2组中,那么必有一组不少与8个同学,
2>然后下次分组的时候这8位同学必有不少与4位仍然在一组,
3>接下来第3次分组,又至少有2位同学是在同一组的,
4>只有第4次分组才可以将这2位同学分开.
也就是说要满足题目条件必须要4次或者4次以上,这里给出一种满足题目要求的分组:
将同学们编成1-16号.
第1次(1,2,3,4,5,6,7,8)(9,10,11,12,13,14,15,16)
第2次(1,2,3,4,9,10,11,12)(5,6,7,8,13,14,15,16)
第3次(1,2,5,6,9,10,13,14)(3,4,7,8,11,12,15,16)
第4次(,1,3,5,7,9,11,13,15)(2,4,6,8,10,12,14,16)
也就是说只要到了适当的抽屉和苹果,抽屉原则就没有难题了.
下面我们来做一个找抽屉的练习:
例5,在1到100这100个自然数中任意选出51个数,证明:
1>其中一定有2个数互质.
2>其中一定有2个数字的差是50.
3>在这些数中一定可以找到9个数,使它们有大于1的公约数(公因数).
这个例题的主要内容就是练习如何来找抽屉.构造抽屉的时候必须和题目所求的东西相照应.例如第1问要有2个数互质,那么我们构造的抽屉中的数必须都是互质的.
那么我们来开始构造抽屉吧:
1>题目要我们证明51个数中必有2个数互质,那么分组的时候把相临的两个数分成一组,那么这2个数必是互质的（相临的两自然数互质）.
100个数被分成(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)………（99，100）这50组，那么所选的51个数中必有2个数落在了同一个“抽屉”中，这2个数必是互质的。
2>第2问要证明的2个数差是50，那么我们就要分组时使同一组中的数差是50，这样的话如果有2个数落在了同一个“抽屉”中，就得到2个差是50的数了。
100个数分成（1，51）（2，52）（3，53）（4，54）（5，55）………（50，100）这50组，被选出的51个数中必有2个在同一“抽屉”中，所以我们就得到了2个差是50的数了。
3>这一问做起来稍有难度，但是做法还是一样的，我们要找出9个数有大于1的公约数（公因数），也就是说我们构造的抽屉中的数，必须满足公约数（公因数）大于或等于2。于是分组就变成了（2，4，6，8……100）[全部偶数]，（3，9，15，21……99）[3的奇倍]，（5，7，11，13……）[剩下的33个数]
当我们把51个数放进这3个“抽屉”中时，我们会发现，最后一个抽屉的33数即使全部选了，也仍然剩下18个数，这18个数放进另外2个抽屉里，必有一个抽屉里有不少于9个数，那么我们就得到了这9个数，他们有一个大于1的公约数（公因数）。
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