初一下数学竞赛辅导资料（16） 整数的一种分类
内容提要
1.余数的定义：在等式A=mB+r中，如果A、B是整数，m是正整数，
r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。
即：在整数集合中被除数=除数×商+余数 (0≤余数除数)
例如：13，0，-1，-9除以5的余数分别是3，0，4，1
(∵-1=5(-1)+4。-9=5(-2)+1。)
2.显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。
例如 整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。
3.整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：
m=2时，分为偶数、奇数两类，记作{2k｝,{2k-1｝(k为整数)
m=3时，分为三类，记作{3k｝,{3k+1｝,{3k+2｝.
或{3k｝,{3k+1｝，{3k-1｝其中{3k-1｝表示除以3余2。
m=5时，分为五类，{5k｝.{5k+1｝,{5k+2｝,{5k+3｝,{5k+4｝
或{5k｝,{5k±1｝,{5k±2｝，其中5k-2表示除以5余3。
4.余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。
举例如下：
①(3k1+1)+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 (余数1+1=2)
②(4k1+1)(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3(余数1×3=3)
③(5k±2)2=25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4(余数22=4)
以上等式可叙述为：
① 两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。
② 两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。
③ 如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是4或9。
余数的乘方，包括一切正整数次幂。
如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 (26=64)
5. 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。
例题
例1. 今天是星期日，99天后是星期几?
分析：一星期是7天，选用模m=7, 求99除以7的余数
解：99=(7+2)9，它的余数与29的余数相同，
29=(23)3=83=(7+1)3它的余数与13相同，
∴99天后是星期一。
又解：设{A｝表示A除以7的余数，
{99｝={(7+2)9｝={29｝={83｝={(7+1)3｝={13｝=1
例2. 设n为正整数，求43 n+1 除以9的余数。
分析：设法把幂的底数化为9k+r形式
解：43 n+1=4×43n=4×(43)n=4×(64)n=4×(9×7+1)n
∵(9×7+1)n除以9的余数是1n=1
∴43 n+1 除以9的余数是4。
例3. 求证三个连续整数的立方和是9的倍数
解：设三个连续整数为n-1,n,n+1
M=(n-1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2)
把整数n按模3，分为三类讨论。
当n=3k (k为整数，下同)时，M=3×3k[(3k)2+2]=9k(9k2+2)
当n=3k+1时，M=3(3k+1)[(3k+1)2+2]=3(3k+1)(9k2+6k+3)
=9(3k+1)(3k2+2k+1)
当n=3k+2时，M=3(3k+2)[(3k+2)2+2]=3(3k+2)(9k2+12k+6)
=9(3k+2)(3k2+4k+2)
∴对任意整数n，M都是9的倍数。
例4. 求证：方程x2-3y2=17没有整数解
证明：设整数x按模3分类讨论，
①当x=3k时，(3k)2-3y2=17, 3(3k2-y2)=17
⑵当x=3k±1时，(3k±1)2-3y2=17 3(3k2±2k-y2)=16
由①②左边的整数是3的倍数，而右边的17和16都不是3的倍数，
∴上述等式都不能成立，因此，方程x2-3y2=17没有整数解
例5. 求证：不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除
证明：把n按模5分类讨论，
当n=5k时，n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1
当n=5k±1 时，n2+n+1=(5k±1)2+5k±1+1
=25k2±10k+1+5k±1+1=5(5k2±2k+k)+2±1
当n=5k±2时，n2+n+1=(5k±2)2+5k±2+1
=25k2±20k+4+5k±2+1=5(5k2±4k+k+1)±2
综上所述，不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除
又证：n2+n+1=n(n+1)+1
∵n(n+1)是两个连续整数的积，其个位数只能是0，2，6
∴n2+n+1的个位数只能是1，3，7，故都不能被5整除。
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