小学五年级每日一题
有1994个球,甲乙两人用这些球进行取球比赛.比赛的规则是:甲乙轮流取球,每人每次取1个,2个或3个,取最后一个球的人为失败者.1、甲先取,甲为了取胜,他应采取怎样的策略?2、乙先拿了3个球,甲为了必胜,应当采取怎样的策略?
解答:为了叙述方便,把这1994个球编上号,分别为1~1994号.取球时先取序号小的球,后取序号大的球.还是采用倒推法.甲为了取胜,必须把1994号球留给对方,因此甲在最后一次取球时,必须使他自己取到球中序号最大的一个是1993(也许他取的球不止一个).为了保证能做到这一点,就必须使乙最后第二次所取的球的序号为1990(=1993-3)~1992(=1993-1).因此,甲在最后第二次取球时,必须使他自己所取的球中序号最大的一个是1989.为了保证能做到这一点,就必须使乙最后第三次所取球的序号为1986(=1989-3)~1988(=1989-1).因此,甲在最后第三次取球时,必须使他自己取球中序号最大的一个是1985,.
把甲每次所取的球中的最大序号倒着排列起来:1993、1989、1985、.观察这一数列,发现这是一等差数列,公差d=4,且这些数被4除都余1.因此甲第一次取球时应取1号球.然后乙取a个球,因为a+(4-a)=4,所以为了确保甲从一个被4除余1的数到达下一个被4除余1的数,甲就应取4-a个球.这样就能保证甲必胜.
由上面的分析知,甲为了获胜,必须取到那些序号为被4除余1的球.现在乙先拿了3个,甲就应拿5-3=2个球,以后乙取a个球,甲就取4-a个球.
①甲为了获胜,甲应先取1个球,以后乙取a个球,甲就取4-a个球.②乙先拿了3个球,甲为了必胜,甲应拿2个球,以后乙取a个球,甲就取4-a个球
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