计数问题之递推法例题讲解四
计数问题之递推法例题讲解四
例题: 平面上有10个圆,最多能把平面分成几部分?
答案详解见下页
分析与解答:
直接画出10个圆不是好办法,先考虑一些简单情况。
一个圆最多将平面分为2部分;
二个圆最多将平面分为4部分;
三个圆最多将平面分为8部分;
当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时,第二个圆与第一个圆有2个交点,这两个交点将新加的圆弧分为2段,其中每一段圆弧都将所在平面的一分为二,所以所分平面部分的数在原有的2部分的基础上增添了2部分。因此,二个圆最多将平面分为2+2=4部分。
同样道理,三个圆最多分平面的部分数是二个圆分平面为4部分的基础上增加4部分。因此,三个圆最多将平面分为2+2+4=8部分。
由此不难推出:画第10个圆时,与前9个圆最多有9×2=18个交点,第10个圆的圆弧被分成18段,也就是增加了18个部分。因此,10个圆最多将平面分成的部分数为:
2+2+4+6+…+18
=2+2×(1+2+3+…+9)
=2+2×9×(9+1)÷2
=92
类似的分析,我们可以得到,n个圆最多将平面分成的部分数为:
2+2+4+6+…+2(n-1)
=2+2×[1+2+3+…+(n-1)]
=2+n(n-1)
=n2-n+2
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