小学奥数知识系列之--简便方法求余数
首届“华罗庚金杯”复赛中有这样一道题:
71427和19的积被7除,余数是几?
有恒心的小朋友会先耐心地乘,再耐心地除,最后得到余数.即:
因此,71427与19的积被7除,余数是2.然而,小明却做出了另外一种方法.请看:先用71427和19两个数分别除以7,得到
再利用乘法的分配律变换算式
71427×19=(10203×7+6)×19
=10203×7×19+6×19
=10203×7×19+6×(2×7+5)
=10203×7×19+6×2×7+6×5
6×5=30,
30÷7=4……余2.
所要求的余数是2.
请读者想想看,小明的做法有道理吗?在你认真思考后,如果认为他的做法还具有代表性,那么,你能概括出什么规律来吗?
【规律】
两个自然数的乘积被某数除所得的余数,等于两个数分别被某数除所得余数的乘积,再除以某数所得的余数.
【练习】
1.71427和71427的积被7除,余数是几?
2.求下面各式的余数.
(1)9804×73864÷3;
(2)9804×73864÷5;
(3)9804×73864÷7;
(4)9804×73864÷11;
(5)9804×73864÷13;
(6)123456789×987654321÷3;
(7)123456789×987654321÷5;
(8)123456789×987654321÷7.
3.思考下面的两道题.
(1)123、456、789这三个数连乘的积被3除,余数是几?
(2)1234、567、78、9四个数连乘的积被3除,余数是几?
4.再思考下面的两个问题.
(1)1991、1993、1994、1996、1997、1999、2000这七个数连乘的积被3除,余数是几?
(2)1至2000中所有不能被3整除的自然数连乘的积除以3,余数是几?
提示:21、22、23……分别被3除的余数有如下规律:
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