初一奥林匹克数学试题——有理数的巧算
用探索性方法解决初一数学问题的尝试
初中探索性问题是考查数学能力的重要题型，它涉及到初中数学的各个方面。从命题的结构看，具有新颖性、开放性和实验性等特点，因而知识覆盖面较强，要求学生有扎实的基础知识，展开丰富的联想，积极思维，积极探索，通过严密的推理论证或计算，解决这类问题。下面从几个方面来探讨初中探索性问题的解题：
一、 联想类比探求
利用数学结构的和谐统一和互相渗透的辨证关系，在观察、分析、联想、类比过程中，求出结果。
[例1] 计算：51+52+53+…+100
分析：联想梯形面积公式，类比把所求的和摞成一个梯形，用梯形面积公式来求和。
解：原式=（51+100）×50÷2=3775
二、 直接探求
把问题当作求解题来解，把满足条件的数学对象直接求出。
[例2] 将1、2、3、…、100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组中任一数值记作a，另一个记作b，代人代数式0.5（|a-b|+a+b）中进行计算，求出其结果，50组数代人后可求得50个值，求这50个值的和的最大值。
解：不妨设a＞b，原式=a，由此知每组数的两个数代人代数式运算后的结果为两个数中较大的一个，从整体上看，只要将51、52、53、…、100这50个数依次代人，便可求出50个值的和的最大值：51+52+…+100=3775
三、 观察猜测探求
通过观察、分析、猜想出一般结论，再论证猜想的正确性。
[例3] 给出下列代数式：
32-12=8=8×1
52-32=16=8×2
72-52=24=8×3
92-72=32=8×4
…… …
观察上面一列数式，你能发现什么规律，用代数式来表示这个规律。并证明之。
解：由题意，不难用归纳法探求其结果为：
（2n+1）2 -（2n-1）2 =8n
证明：（2n+1）2 -（2n-1）2 =（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=8n
说明：从特例分析找出规律，再给出证明，是解决探索性问题的常用思维模式。
四、 数形结合探求
有些问题用代数方法解很复杂，但用数形结合的方法却很容易。
[例4] 试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2001|的最小值。
解：从数轴上看，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2001|的最小值，即在数轴上找出表示x的点，使它到表示数1、2、3、…、2001的距离最小。如图所示：
当x=1001时，原式的值最小，从数轴上看这个最小值为：
（2001-1）+（2000-2）+…+（1002-1000）+（1001-1001）
=2000+1998+…+2+0=1001000
五、 分类探求
对直接难解决的问题，有时用分类讨论的方法却可以解决。
[例7] 试证：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和。
思路：分类证明，将每一类自然数表示为两个式子的和，并证明它们互质。
证明：（1）若n为奇数，设n=2k+1，k为大于2的整数，则写
n=k+（k+1），由于显然（k，k+1）=1，故此表示合乎要求。
（2）若n为偶数，则可设n=4k或4k+2，k为大于1的自然数。
当n=4k时，可写n=（2k-1）+（2k+1），并且易知2k-1与2k+1互质，因为，若它们有公因子d≥2，则d|2，但2k-1与2k+1均为奇数，此不可能。
当n=4k+2时，可写n=（2k-1）+（2k+3），并且易知2k-1与2k+3互质，因为，若它们有公因子d≥2，设2k-1=pd，2k+3=qd，p、q均为自然数，则得（q-p）d=4，可见d|4，矛盾。
六、 赋值探求
对含有参数的探索性问题，可以赋特殊值用待定系数法确定参数的值。
[例8] 关于x的方程4kx+2a=12+x-bk中，a、b为定值，无论k为任何值，方程的根总是1，求a、b的值。
解 ：当k=0时，x=1仍是方程的根；
将k=0，x=1代人原方程中，得0+2a=12+1-0，解得a=6.5
当k=1时，x=1仍是方程的解；
将k=1，x=1，a=6.5代人原方程，得4+13=12+1-b，解得b=-4
故a=6.5，b=-4。
通过不断的用探索性方法解题，不仅培养了学生大胆分析、思考问题的意识，而且掌握了探索解决问题的方法和途径。从而培养了学生拓展性学力和创造性学力。
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