数学奥林匹克专题讲座第6讲：与年号有关赛题
一、题目条件中出现年号的问题
1.题目在编制和解答中巧妙地运用了该年年号的数字特征，如年号数值的质因数分解式、是否质数、它的数的整除性等等。
例1 将19到80的两位数顺次排成数A=19202122?7980。问：这个数A能否被1980整除?
解：由于1980=99×20，因此要考察A能否被1980整除，只需要考察A能否被99和20整除就行了。能被20整除是显然的。因为99除100的任何次方所得的余数都是1，所以A=19×10061+20×10060+?+79×100+80
除以99的余数与B=19+20+?+79+80=99×31除以99的余数相同。因为99|B，所以99|A。于是A能被1980整除。
例2 用S(n)表示自然数n的各位数字之和，又n+S(n)=1999，求自然数n。
11x+2y=89。
注意到x是奇数且x，y都是一位整数，不难求得x=7，y=6，从而n=1976。 例3 在3×3的九宫格中，填上 9个不同的自然数，使得每行三数相乘，每列三数相乘所得的6个乘积都等于P。试确定P能取1996，1997， 1998，1999，2000，2001这6个数中的哪些值。
解：所填的9个数应为P的9个不同约数，又P不能填入九宫格内，故P的不同约数的个数应不小于10。1996=2×499，有6个约数;
1997和1999是质数，各有2个约数;1998=2×3×37，有16个约数; 2000=2×5，有20个约数;2001=3×2×29，有8个约数。
显然P不能取1996，1997，1999和2001。当P=1998和2000时，有下图的填法(填法不唯一)，故P可取1998和2000。
23433
例4 有1999块边长为1的正方块，求满足下述条件的有盖箱子的尺寸：
(1)长、宽、高均大于1;
(2)将正方块放入箱子中时，能合上盖子，并且使空隙最小;
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