数学奥林匹克专题讲座第7讲：图形与面积
一、直线图形的面积
在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。 图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。它有如下两条性质：
1.两个可以完全重合的图形的面积相等;
2.图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。
对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。如
正方形面积=边长×边长;
矩形面积=长×宽;
平行四边形面积=底×高;
三角形面积=底×高÷2;
梯形面积=(上底+下底)×高÷2。
此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。
1.等腰三角形底边上的高线平分三角形面积;
2.三角形一边上的中线平分这个三角形的面积;
3.平行四边形的对角线平分它的面积;
4.等底等高的两个三角形面积相等。
解决图形面积的主要方法有：
1.观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形;
2.对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置(叫做等积变形);
3.作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系;
4.把图形进行割补(叫做割补法)。
例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗? 解：最容易想到的是将△ABC的底边4等分，如左下图构成4
个小三另外，先将三角形△ABC的面积2等分(如右上图)，即取BC的中点D，连接AD，则S△ABC-S△ABC，然后再将这两个小三角形分别2
等分，分
还有许多方法，如下面的三种。请你再想出几种不同的方法。
例2 右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米?
分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单的容易求出面积的图形，分别求出面积。
也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空白处的面积，就是六边形的面积。
解法1：把六边形分成6块：
△ABC，△AGF，△PEF，△EKD，△CDH和正方形GHKP。用S表示三角形面积，如用S△ABC表示△ABC的面积。
故六边形ABCDEF的面积等于
说明：当某些图形的面积不容易直接计算时，可以把这个图形分成几个部分，计算各部分的面积，然后相加，也就是说，可以化整为零。
解法2：先求出大正方形MNRQ的面积为6×6=36(cm2)。
说明：当某些图形的面积不易直接计算时，可以先求出一个比它更大的图形的面积，再减去比原图形多的那些(个)图形的面积，也就是说，先多算一点，再把多算的部分减去。
解法3：六边形面积等于S△ABC+S梯形ACDF-S△DEF
说明：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，从不同的角度去观察同一个图形，会对图形产生不同的认识。一种新的认识的产生往往会伴随着一种新的解法。做题时多想一想，解法就会多起来，这对锻炼我们的观察能力与思考能力大有益处。
例3 如下图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4cm，△CED的面积是6cm。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米?
解：如下图，连结BF。则△BDF与△CFD面积相等，减去共同的部分△DEF，可得△BEF与△CED面积相等，等于6cm2。
四边形ABEF的面积等于
S△ABD-S△DEF
=S△BDC-S△DEF
=S△BCE+S△CDE-S△DEF
=9+6-4=11(cm2)。
问：两块红色图形的面积和与两块蓝色图形的面积和，哪个大?
分析：只需比较△ACE与△BDF面积的大小。因为△ACE与△BDF的高相等(都是CD)，所以只需比较两个三角形的底AE与BF的大小。
因为△ACE与△BDF高相等，所以S△ACE>S△BDF。
减去中间空白的小四边形面积，推知两块红色图形的面积和大于两块蓝色图形的面积和。
例5 在四边形ABCD中(见左下图)，线段BC长6cm，∠ABC为直角，∠BCD为135°，而且点A到边CD的垂线段AE的长为12cm，线段ED的长为5cm，求四边形ABCD的面积。
解：延长AB，DC相交于点F(见右上图)，则∠BCF=45°，∠FBC=90°，从而∠BFC=45°。
因为∠BFC=∠BCF，
所以BF=BC=6(cm)。
在直角△AEF中，∠AFE=45°，所以∠FAE=90°-45°=45°，
从而EF=AE=12(cm)。
故S四边形ABCD=S△ADF-S△BCF=102-18=84(cm2)。
说明：如果一个图形的面积不易直接求出来，可根据图形的特征和题设条件的特点，添补适当的图形，使它成为一个新的易求出面积的图形，然后利用新图形面积减去所添补图形的面积，求出原图形面积。这种利用“补形法”求图形面积的问题在国内外初中、小学数学竞赛中已屡见不鲜。
例6 正六边形ABCDEF的面积是6cm2，M，N，P分别是所在边的中点(如下图)。
问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?
解法1：如左下图，将正六边形分成6个面积为正1cm2的正三角形，将另外三个面积为1cm2的正三角形分别拼在边BC，DE，AF外面，得到一个大的正三角形XYZ，其面积是9cm2。
这时，M，N，P分别是边ZX，YZ，Xy的中点，推知
解法2：如右上图，将正六边形分成6个面积为1cm2的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为组成，所以
二、圆与组合图形
以上我们讨论了有关直线图形面积计算的种种方法。现在我们继续讨论涉及圆的面积计算。
1.圆的周长与面积
计算圆的周长与面积，有的直接利用公式计算，有的需要经过观察分析后灵活运用公式计算。主要公式有：
(1)圆的周长=π×直径=2π×半径，即C=πd=2πr;
(2)中心角为n°的弧的长度=n×π×(半径)÷180，即
(3)圆的面积=π×(半径)2，即S=πr2;
(4)中心角为n°的扇形面积=n×π×(半径)2÷360，即
例7 下图是三个半圆(单位：cm)，其阴影部分的周长是多少?
解：由图可知，阴影部分是由三个直径不同的半圆周所围成，所以其周长为
说明：实际上，该图形中两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，因而它们的周长也正好等于大半圆的半圆周。
推而广之，若n个小圆的直径之和等于大圆的直径，即d1+d2+d3+?+dn=D，
那么这些小圆的周长之和也等于大圆的周长，即πd1+πd2+πd3+?+πdn=π(d1+d2+d3+?+dn)=πD。
例8 某开发区的大标语牌上，要画出如下图所示(图形阴影部分)的三种标点符号：句号、逗号、问号。已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r。若均匀用料，则哪一个标点符号的油漆用得多?哪一个标点符号的油漆用得少?
分析：在均匀用料的情形下，油漆用量多少问题可转化为阴影部分的面积大小问题。现在涉及到的基本图形是圆，弄清阴影部分如何由大小圆分割、组合而成，是解该题的关键点和突破口。
解：因为S句号=S大圆-S小圆=πR2-πr2=π(2r)2-πr2=3πr2
说明：留意我们的日常生活，不同于课本的“非常规”问题随处可见，如何把“非常规”问题转化为或近似地转化为“常规”数学问题，需要细心观察、积极思考，考
察转化的可能性和转化的途径。像上例那样，认真分析图形的特征和课本图形的基本关系，进一步探讨能否由基本图形分割而成、组合而成。
2.圆与组合图形
在日常生活中，除了经常遇到直线型(如矩形、正方形、三角形、梯形等)以及曲线型(如圆、扇形等)的面积外，还经常遇到不同形状图形叠加而成的组合图形的面积问题。组合图形的面积计算，可以根据几何图形的特征，通过分割、割补、平移、翻折、对称、旋转等方法，化复杂为简单，变组合图形为基本图形的加减组合。 例9 下图中，ABCD是边长为a的正方形，分别以AB，BC，CD，DA为直径画半圆。求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积。
解：图中阴影部分是由四个半圆的重叠部分构成的，这四个半圆的直径围成一个正方形。显然，这四个半圆的面积之和大于正方形的面积，两者的差就是阴影部分的面积。因此，我们就得到以下的算式：
说明：此例除了用上面的解法外，还可以采用列方程解应用题的方法来解。 如题图，设x和y分别表示相应部分的面积，由图看出
例10 如左下图所示，平行四边形的长边是6cm，短边是3cm，高是2.6cm，求图中阴影部分的面积。
分析：本题的图形比较复杂，我们可以先计算阴影部分的一半(见右上图)。我们的目标是把图形分解成若干基本图形的组合或叠合。本题中的基本图形就是大、小两种扇形，以及平行四边形。仔细观察后得出结论：
右上图中的阴影部分等于
说明：求一个不规则图形的面积，要设法找出它与规则图形面积的关系，化不规则为规则。
例11 求下图中阴影部分的面积(单位：cm)。
分析与解：本题可以采用一般方法，也就是分别计算两块阴影部分面积，再加起来，但不如整体考虑好。我们可以运用翻折的方法，将左上角一块阴影部分(弓形)翻折到半圆的右上角(以下图中虚线为折痕)，把两块阴影部分合在一起，组成一个梯形(如下图所示)，这样计算就很容易。
本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转90°，到达右上角，得到同样的一个梯形。
说明：当某些图形的面积不易直接计算时，可以把这个图形的各个部分适当拼接成一个易于直接计算的图形。也就是说，可以化零为整。上述解法运用翻折(或旋转)的方法达到了化零为整的目的。
例12 已知下图中正方形的面积是12cm2，求图中里外两个圆的面积。
分析：计算圆面积，要知道半径。先考虑内圆面积。内圆的直径与正方形的边长相等，但正方形的边长是未知的。根据已知正方形的面积是12cm2，可以推出内圆直径的平方为12cm2，再求内圆面积就不难了。
外圆的直径是正方形的对角线，设外圆半径为R，则正方形面积等于由一条对角线分成的两个等腰直角三角形的面积之和。再由正方形面积=2R×R÷2×2=2R2，2R2=12，便可求出外圆面积。
解：设内圆半径为r，由正方形面积为12cm2，正方形边长为2r，得(2r)2=12，r2=3。
内圆面积为πr2=3.14×3=9.42(cm2)。
得R2=6，外圆面积为πR2=3.14×6=18.84(cm2)。
练习7
1.如下图所示，正方形的面积是50cm2，三角形ABC两条直角边中，长边是短边的2.5倍，求三角形ABC的面积。
2.如左下图所示，长方形ABCD中，AB=24cm，BC=36cm，E是BC的中点，F，G分别是AB，CD的4等分点，H为AD上任意一点。求阴影部分面积。
3.在右上图的4×7的方格纸板上画有如阴影所示的“6”字，阴影边缘是线段或圆孤。问：阴影面积占纸板面积的几分之几?
4.在左下图中，六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积。
5.在右上图中，涂阴影部分的小正六角星形面积是16cm2。问：大正六角星形面积是多少平方厘米?
6.一个周长是56cm的大长方形，按下页图1与图2所示那样，划分为4个小长方形。在图1中小长方形面积的比是A∶B=1∶2，B∶C=1∶2。而在图2中相应的比例是A'∶B'=1∶3，B'∶C'=1∶3。又知，长方形D'的宽减去D的宽所得到的差，与D'的长减去D的长所得到的差之比为1∶3。求大长方形的面积。
7.有两张正方形纸，它们的边长都是整厘米数，大的一张的面积比小的一张多44cm2。大、小正方形纸的边长分别是少?
8.用面积为1，2，3，4的4张长方形纸片拼成如下图所示的一个大长方形。问：图中阴影部分面积是多少?
练习7
1.10cm
解：画两条辅助线如左下图。根据条件可知，正方形面积是长方形ABCD面积的2.5倍。从而ABCD的面积是
50÷2.5=20(cm)。
所以△ABC的面积是20÷2=10(cm)
2.324cm。
解：连结BH。△BEH的面积为把△BHF和△DHG结合起来考虑，这两个三角形的底BF，DG相等，且都等角形的面积之和是
图中阴影部分的面积为 216+108=324(cm)。
非阴影共6个，也有6个，刚好拼成6个小正方形。因此阴影部分有28-6-3=19(个)小正方形。
4.31。
解：如右图，将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形。根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，采用数小三角形的办法来计算面积。
S△PEF=3，S△CDE=9，S四边形ABQp=11。
上述三块面积之和为 3+9+11=23。因此，阴影四边形CEPQ面积为54-23=31。
5.48cm。
解：如下页右上图，阴影部分小正六角星形可分成12个与三角形OPN(cm2)。
正三角形OPM面积是由3个与三角形OPN全等的三角形组成。所以正三角形 OPM的面积等于
由于大正六角星形由12个与正三角形OPM全等的三角形组成，所以大正六角星形的面积是4×12=48(cm)。
6.160cm。
解：设大长方形的宽为xcm，则长为(28-x)cm。
由题设可知
28-8=20，从而大长方形的面积为
8×20=160(cm)。
7.12cm，10cm。
解：把两张正方形纸重叠在一起，且把右边多出的一块拼到上面，成为一个长方形，如下图。
这个长方形的面积是44cm，它的长正好是两个正方形的边长的和，它的宽正好是两个正方形的边长的差。因为两个整数的和与它们的差是同奇或同偶，而44又只能分解成下面的三种形式：44=1×44=2×22=4×11，
所以，两个正方形的边长的厘米数的和与差只能是22与2。于是，两个正方形的边长分别是(22+2)÷2=12(cm)， 12-2=10(cm)。
解：大长方形面积为1+2+3+4=10。如右图那样延长RA和SB。矩形ABPR面积是上部阴影三角形面积的2倍。矩形ABSQ面积是下部阴影三角形面积的2倍。所以矩形RQSP的面积是阴影部分面积的2倍。
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