数学奥林匹克专题讲座第8讲：立体图形
在数学竞赛中，常可以看到某些题目中出现了当年的年号，这类题我们称之为“年号题”。这类题趣味性强，时间性强，引起了参加竞赛的少年朋友很大的兴趣。
“年号题”一般可分成两类，一类是题目的条件中出现了当年的年号，另一类是题目答案中出现了当年的年号。下面我们分别举例说明这两类问题的解法。
一、题目条件中出现年号的问题
1.题目在编制和解答中巧妙地运用了该年年号的数字特征，如年号数值的质因数分解式、是否质数、它的数的整除性等等。
例1 将19到80的两位数顺次排成数
A=19202122?7980。
问：这个数A能否被1980整除?
解：由于1980=99×20，因此要考察A能否被1980整除，只需要考察A能否被99和20整除就行了。
能被20整除是显然的。
因为99除100的任何次方所得的余数都是1，所以A=19×100+20×100+?+79×100+80 6160
除以99的余数与B=19+20+?+79+80=99×31除以99的余数相同。因为99|B，所以99|A。于是A能被1980整除。
例2 用S(n)表示自然数n的各位数字之和，又n+S(n)=1999，求自然数n。
11x+2y=89。
注意到x是奇数且x，y都是一位整数，不难求得x=7，y=6，从而n=1976。
例3 在3×3的九宫格中，填上 9个不同的自然数，使得每行三数相乘，每列三数相乘所得的6个乘积都等于P。
试确定P能取1996，1997， 1998，1999，2000，2001这6个数中的哪些值。
解：所填的9个数应为P的9个不同约数，又P不能填入九宫格内，故P的不同约数的个数应不小于10。1996=2×499，有6个约数; 2
1997和1999是质数，各有2个约数;
1998=2×3×37，有16个约数;
2000=2×5，有20个约数;
2001=3×2×29，有8个约数。
显然P不能取1996，1997，1999和2001。当P=1998和2000时，有下图的填法(填法不唯一)，故P可取1998和2000。
例4 有1999块边长为1的正方块，求满足下述条件的有盖箱子的尺寸：
(1)长、宽、高均大于1;
(2)将正方块放入箱子中时，能合上盖子，并且使空隙最小;
(3)在保证(1)(2)的前提下，使箱子的表面积最小。 解：由于1999是质数且2000=2×5，故空隙最小的箱子的体积应是2000。 43
表面积最小的箱子应是各边长相差尽量小的长方体。将2000分解成三个尽量接近的三个数的乘积是
2000=10×10×20，所以表面积最小的箱子的长、宽、高应为10，10，20。
2.题目中的年号数是可以换成任意的自然数n的，它只不过是编制时仅仅用具体的年号数来代替n。对于这种情况要善于透过表面看本质，做过后要将特殊推广到一般。
解：设这两个自然数为x，y，且x>y。
比较①②两式，取n=1999，有2x=1999×2000，2y=
1999+1，于是x=1999000，y=1000。
例6 有一张1949×2000的长方形方格纸，方格边长为1。问：这个长方形的一条对角线穿过多少个方格?
解：由于1949与2000是互质数，故对角线在长方形内不经过任何一个格点。
对角线与纵向的1950条线有1950个交点，与横向的2001条线有2001个交点。去掉重复计算的对角线两个端点，它与纵横线共有
1950+2001-2=3949(个)交点，交点间有3948条线段，即对角线穿过3948个小方格。
例7 有两个容器A和B，A中装有1升水，B是空的。先将容器A
解：设an和bn分别表示倒了n次以后A中和B中水的升数， 显然an+bn=1。列表观察如下：
说明：如果求倒了2000次以后，A中还剩多少水，那么可进一步计算如下：
例8 从自然数列1，2，3，4，?中依次划去3的倍数和4的倍数，保留5的倍数(例如15，20都不划去)，将剩下的数依次写成数列
A1=1，A2=2，A3=5，A4=7，?求A2000。
解：3，4，5的最小公倍数是60，在连续的60个自然数中，3的倍数有60÷3=20(个)，4的倍数有60÷4=15(个)，12的倍数有60÷12=5(个)，15的倍数有60÷15=4(个)， 20的倍数有60÷20=3(个)，60的倍数有1个。于是由容斥原理得到，连续60个自然数中，按题设要求划去各数后还剩下
60-(20+15)+(5+4+3)-1=36(个)。
2000÷36=55??20。因为在1～34中可以剩下20个数，所以剩下的第2000个数是
A2000=60×55+34=3334。
二、题目答案中出现年号的题
这类问题和一般的数学题没有什么区别，都要运用数字运算的规律和特征，借助逻辑推理求得问题的解决。
例9 将我家门牌号码倒置着看是一个四位数，它比原来的号码大7875，我家门牌号码是多少?
解：倒置后仍有意义的数有0，1，6，8，9。设门牌号码正着看是
于是门牌号码为1986。
例10 有一个小于2000的四位数，它恰好含有14个因数，其中有一个质因数的末位数字是1，求这个四位数。
解：因为14=2×7，所以这个四位数的质因数分解式为
因为4=4096>2000，所以P2≤3。故P1的末位数为1。
若P2=3，则m=P1×3≥11×3>2000，
舍去。故P2=2。
若P1=11，则m=64×11=704，不是四位数。
若P1≥41，则m≥64×41>2000，与题设不符。
当P1=31时，m=64×31=1984。这是本题的唯一解。
例11 在20世纪的最后10年中，恰有一年年号的不同约数的个数比1990的约数个数少2，求该年号所有不同正约数的积。
解：用T(A)表示A的不同约数个数。
1990=2×5×199，
T(1990)=(1+1)×(1+1)×(1×1)=8;
1991=11×181，
T(1991)=(1+1)×(1+1)=4;
1992=2×3×83， 3
T(1992)=(3+1)×(1+1)×(1×1)=16;
1993是质数，
T(1993)=2;
1994=2×997，
T(1994)=(1+1)×(1+1)=4;
1995=3×5×7×9，
T(1995)=(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16;
1996=22×499，
T(1996)=(2+1)×(1+1)=6。
故所求年号数为1996，其所有不同正约数之积为
1×2×2×499×(2×499)×1996=1996。 22
例12 平面上有1001个点，如果每两点连一条线段，并把中点染成红色，那么平面上至少有多少个红点?
解：在所有点中，找出距离最大的两点A和B，分别以A，B为圆心，以AB的长度的一半为半径作两个圆。对余下的999个点中的任一点P，
因999个点是不同的的点，它们与A的中点也互不相同，所以在⊙A(含圆周)中至少有999个红点，这999个红点与AB的中点不重叠。同理，在⊙B中也至少有999个红点。再加上 AB的中点，平面上至少有2×999+1=1999(个)红色的点。
练习6
。
2.2001个棱长为1厘米的正方体可以垒成多少种不同长方体?
3.梯形的上底、下底及两腰的长分别是1，9，8，8。这个梯形的四个角的大小分别是多少?
4.将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数。现有一个四位数M，它比新数中的最大数小7983，比新数中的最小数大99，求这个四位数。
5.有一个四位数N，它小于3000，且满足下列条件：
(1)N中含有两个质因数3，且只含有两个质因数3;
(2)N—1中含有两个质因数2，且只含有两个质因数2;
(3)N和N—1都不含质因数5;
(4)N的十位数字比个位数字小1。
求这个四位数。
6.设P和q为自然数，已知
判断P是否是1999的倍数。
7.自1986开始写下一串数字：
1 9 8 6 4 7 5 2 8 2 7 9 6?
其中前四个数字后的每一个数字等于它前面四个数字之和的末位数字。问：在这一串数字中会不会出现连续四个数，恰好是1，9，9，8?
8.规定一种运算“～”，a～b表示两个数a和b的差(大减小)。例如：5～3=2，7～10=3，6～6=0。
已知x1，x2，?，x2000，是1，2，?，2000的一个排列，求
(x1～1)+(x2～2)+?+(x2000～2000)
的最大值。
练习6
2.4种。
解：2001=3×23×29=1×69×29
=1×23×87=1×3×667。
3.60°，60°，120°，120°。
解：如右图，将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，显然这个三角形是等边三角形，它的每个角都是60°，从而梯形的各个角分别为60°，60°，120°，120°。
4.1998。
由上式知，a=9，d=1，b-c=1。这个四位数等于
这个四位数是1998。
5.1989。
知d≠5且d≠1，从而d可能为3，7或9，于是c可能等于2，6或8。
a+b-1是9的倍数。
若a=2，则b=8，此时N=2889，N-1=2888是8的倍数，与(2)矛盾。 若a=1，则b=0或9，此时N=1089或1989。当N=1089时，N是27的倍数与(1)矛盾。经验算，仅1989符合题意。所以这个四位数是1989。
6.是。
在等式的两边同时乘以
1332!=1×2×3×? ×1332，
由于1999是质数，且1332<1999，故在1332!中没有一个大于1的约数能整除1999，因此只有P能被1999整除。
7.不会。
解：将这串数按奇偶性写出来是：
1986偶奇奇偶偶偶奇奇偶??
容易看出，其中每连续五个数字中有两奇三偶，而且三个偶数是连在一起的，故在这一串数字中不会出现连续四个数，恰好是1，9，9，8。
8.2000000。
解：每一个(xn～n)变成普通减法后是将xn和n中较大的一个减较小的一个，故在x1，x2，?，x2000，1，2，?， 2000这2×2000个数中有2000个是被减数，有2000个是减数，我们要使上式的结果最大，就应该使较大的数成为被减数，较小的数成为减数。于是在每一个(xn～n)中，大于999的两个数不能排在一起，小于 999的两个数也不能排在一起。取x1=2000，x2=1999，?，x2000=1就可以得到这个最大值： 2×[(2000-1)+(1999-2)+?+(1001-1000]
=2×[(2000-1000)+(1999-999)+?+(1001-1)]
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