数学奥林匹克专题讲座第10讲：应用问题选讲
我们知道，数学是一门基础学科。我们在学校中学习数学的目的，一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础，更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题。
运用数学知识解决实际问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题(我们称之为建立数学模型)，然后解答这个数学问题，从而解决这个实际问题。即：
这里，建立数学模型是关键的一步。也就是说，要通过审题，将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来，将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题。下面介绍一些典型的数学模型。
一、两个量变化时，和一定的问题
两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的和始终保持不变，那么它们的差与积之间有什么关系呢?
观察下面的表：
我们不难得出如下的规律：
两个变化着的量，如果在变化的过程中，和始终保持不变，那么它们的差越小，积就越大。若它们能够相等，则当它们相等时，积最大。
这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的。
例1 农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于2米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分别应是多少?
解：如上图，设长方形的长和宽分别为x米和y米，则有
x+2y=1.2×20=24。
长方形的面积为
因为x和2y的和等于24是一个定值，故它们的乘积当它们相等时最大，此时长方形面积S也最大。于是有
x=12， y=6。
例2 如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出500个。当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。为了赚得最多的利润，售价应定为多少?
解：设每个商品售价为(50+x)元，则销量为(500-10X)个。总共可以获利 (50+x-40)×(500-10x)
=10×(10+X)×(50-X)(元)。
因(10+x)+(50-x)=60为一定值，故当10+X=50-X即X=20时，它们的积最大。
此时，每个的销售价为50+20=70(元)。
例3 若一个长方体的表面积为54厘米2，为了使长方体的体积最大，长方体的长、宽、高各应为多少厘米?
解：设长、宽、高分别为x，y，z厘米，体积为V厘米3。
2(xy+yz+zx)=54，xy+yz+zx=27。
因为V2=(xyz)2=(xy)(yz)(zx)，
故当 xy=yz=zx即 x=y=z=3时，V2有最大值，从而V也有最大值。
例4 有一块长24厘米的正方形厚纸片，在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒，现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米?
解：如上图，设剪去的小正方形的边长为x厘米，则纸盒的容积为
V=x(24-2x)(24-2x)
=2×2x(12-x)(12-x)。
因为2x+(12-x)+(12-x)=24
是一个定值，故当
2x=12-x=12-x，
即x=4时，其乘积最大，从而纸盒的容积也最大。
二、两个量变化时，积一定的问题
两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢?
观察下面的表：
我们不难得出如下的规律：
两个变化着的量，如果在变化的过程中，乘积始终保持不变，那么它们的差越小，和就越小。若它们能够相等，则当它们相等时，和最小。
例5 长方形的面积为 144 cm2，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短?
解：设长方形的长和宽分别为 xcm和 ycm，则有
xy=144。
故当x=y=12时，x+y有最小值，从而长方形周长2(x+y)也有最小值。 例6 用铁丝扎一个空心的长方体，为了使长方体的体积恰好是216cm3，长方体的长、宽、高各是多少厘米时，所用的铁丝长度最短?
解：设长方体的长、宽、高分别为xcm，ycm，zcm，则有xyz=216。铁丝长度的和为 4(x+ y+ z)，故当 x=y=z=6时，所用铁丝最短。
例7 农场计划挖一个面积为432 m2的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有3m和4m的堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少?
解：如图所示，设水池的长和宽分别为xm和ym，则有
xy=432。
占地总面积为 S=(x+6)(y+8)cm2。于是
S=Xy+6y+8X+48=6y+8X+480。
我们知道6y ×8X=48×432为一定值，故当6y=8X时，S最小，此时有6y=8X=144，故y=24，x=18。
例8 某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每人只限一次。某班有48名学生，老师打算组织学生集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名学生，每次的包车费均为40元。若要使每个同学游8次，每人最少交多少钱?
解：设一共买了X张卡，一共去游泳y次，则共有
Xy=48×8=384(人次)，
总用费为(240x+40y)元。
因为 240x ×40y=240×40×384是一定值，故当 240x=40y，即y=6x时，和最小。易求得x=8，y=48。此时总用费为
240×8+40×48=3840(元)，
平均每人最少交 3840÷48=80(元)。
三、利用不等关系来解答的应用题
例9 某公司在A，B两地分别库存有某机器16台和12台，现要运往甲、乙两家客户的所在地，其中甲方15台，乙方13台。已知从A地运一台到甲方的运费为500元，到乙方的运费为400元，从B地运一台到甲方的运费为300元，到乙方的运费为600元。已知运费由公司承担，公司应设计怎样的调运方案，才能使这些机器的总运费最省?
解：设由A地运往甲方x台，则A地运往乙方(16-x)台，B地运往甲方(15-x)台，B地运往乙方(x-3)台。于是总运价为：
S=500x+400(16-x)+300(15-x)+600(x-3)
=400x+9100。
显然，x要满足不等式3≤x≤15，于是当x=3时，总运价最省，为 400× 3+ 9100=10300(元)。
调运方案为：由A地运往甲方3台，A地运往乙方13台，B地运往甲方12台，B地运往乙方0台。
例10 某校决定出版“作文集”，费用是30册以内为80元，超过30册的每册增加1.20元。当印刷多少册以上时，每册费用在1.50元以内?
解：显然印刷的册数应该大于30。设印刷了(30+x)册，于是总用费为(80+1.2x)元。故有
80+1.2x≤1.5 ×(30+x)，
以内。
例11 现有三种合金：第一种含铜60%，含锰40%;第二种含锰10%，含镍90%;第三种含铜20%，含锰50%，含镍30%。现各取适当数量的这三种合金，组成一块含镍45%的新合金，重量为1千克。
(1)求新合金中第二种合金的重量的范围;
(2)求新合金中含锰的重量的范围。
解：设第一种合金用量为x千克，第二种合金用量为y千克，第三种合金用量为z千克，依题意有
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(1)如果不取第一种合金，即x=0，那么新合金中第二种合金重量最小。解得y=0.25。
如果不取第三种合金，即z=0，那么新合金中第二种合金重量最大。解得y=0.5。 新合金中第二种合金的重量范围是0.25克到0.5克。
(2)由①②可得z=1.5-3y，x=2y-0.5。故新合金中含锰的重量为
S=40%x+10%y+50%z
=40%(2y-0.5)+10%y+50%(1.5-3y)
=0.55-0.6y。
因为0.25≤y≤0.5，所以0.25≤S≤0.4，即新合金中含锰的重量范围是0.25克到0.4克。
例12 某商店需要制作如下图所示的工字形架100个，每个由三根长为2.3米、
1.7米、1.3米的铝合金材料组装而成。市场上可购得该铝合金材料的原料长为6.3米。问：至少要买回多少根原材料，才能满足要求(不计损耗)?
解：每根原材料的切割有下表的七种情况：
显然，④⑤⑥三种方案损耗较小。④⑤⑥⑦方案依次切割原材料42根、14根、29根、1根，可得2.3米、1.7米、1.3米的材料各100根，共用原材料 42+14+29+1=86(根)。
练习10
1.销售某种西服，当每件售价为100元时可售出1000件。如果定价每下降1%，那么销售量将提高0.5%，又知道这批西服是每件80元成本购进的。问：应如何定价才能使获利最大?
2.下图是一个面积为4m2的窗户，当a∶b的值是多少时，窗户的框架所用的材料最省?
3.有一个长为 80cm、宽为40cm的木板，要以它为原材料做一个无盖的木盒，应该如何制作才能使木盒的容积最大?最大的容积是多少?
4.某厂要建造一个无盖的露天水槽，其底为正方形，容量为64000m3。在建造时，槽底的造价是四壁的2倍，这个水槽的底面边长和高的比例是多少时，造价最省?
5.A城有化肥 200吨，B城有化肥 300吨，现要将化肥运往C，D两村。已知从A城运往C，D两村的运价分别是每吨20元和25元，从B城运往C，D两村的运价分别是每吨15元和22元。某个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，如何调运才能使运费最省?
6.有两个学生参加4次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数。他们又参加了第5次测验，这样5次的平均分数都提高到了90分，求第5次测验二人的得分(满分为100分)。
7.某机械厂要把一批长7300毫米的钢筋截成长290毫米、210毫米和150毫米的钢筋各一段组成一套钢筋架子。现在做100套钢筋架子，至少要用去长为7300毫米的钢筋多少根?
8.下表所示为X，Y，Z三种食品原料的维生素含量(单位：单位/千克)及成本：
现在要将三种食物混合成100千克的混合物，要求混合物至少需含44000单位的维生素A及48000单位的维生素B0如果所用的食物中x，Y，Z的重量依次为X千克、y千克、Z千克，那么请定出X，y，Z的值，使得成本为最少。
练习10
1.91元。
解：设定价为每件(100-x)元，则销售量为1000(1+0.5%x)件。利润为
(100-x-80)×1000(1+0.5%x)
=500×(20-x)(2+x)。
因为(20-x)+(2+x)=22为一定值，故当20-x=2+x即x=9时利润最高。此时每件定价为100-9=91(元)。
2.2∶3。
解：窗户的框架长为 3a+2b，而 ab=4是一个定值，从而3a×2b=6ab=24也是一个定值，故当3a=2b即a∶b=2∶3时窗户框架所用材料最省。
3.32000cm 3
解：设木盒的长、宽、高分别为xcm，ycm，zcm，则它的容积为V=xyzcm。因为 3
xy+2xz+2yz=40×80=3200
为一定值，故它们的积
xy×2xz×2yz=4(xyz)=4V， 22
在xy=2xz=2yz时最大，从而V也最大，此时有x=y=2z。经计算得x=40，y=40，z=20。
具体制作方式如下：先取原木板的一半(40cm×40cm)作为木盒的底面，再将剩下的一半分成 20 cm×40 cm大小的四等份，每份作为木盒的一个侧面就可以了。
4.1∶1。
解：设四壁的造价是a元/m，则底面造价为2a元/m。又设其底面边长为xm，高为ym，则有 22
xy=64000。 2
总造价为
a×4xy+2a×x2
=2a(2xy+x)=2a(xy+xy+x)。 22
因为xy×xy×x=(xy)=64000为一定值，故当xy=xy=x即x∶y=1∶1时，总造价最省。 22222
5.解：设A城化肥运往C村x吨，则运往D村(200-x)吨;B城化肥运往C村(220-x)吨，运往D村(80+x)吨，总运费y元，则
y=20x+25(200-x)+15(220-x)+22(80+x)
=2x+10060。
又易知0≤x≤200，故当x=0时，运费最省，为10060元。
运输方案如下：A城化肥运往C村0吨，运往D村200吨;B城化肥运往C村220吨，运往D村80吨。
6.98，94。
解：设某一学生前4次的平均分为x分，第5次的得分为y分，则其5次总分为
4x+y=5×90=450。
于是y=450-4x。显然90
90<450-4x≤100，
解得87.5≤x<90。于是两个学生前4次的平均分分别为88分和89分。第5次得分分别为 450-4×88=98(分)和450-4×89=94(分)。
7.90根。
解：每一根7300毫米的钢筋有如下三种损耗较小的截法：
290×2+150×1=7300， ①
210×2+150×2=7200， ②
210×2+290×2=7100。 ③
设按方案①截得的钢筋有x根，按方案②截得的钢筋有y 根，按方案③截得的钢筋有z根，则长为290，210，150毫米各有100根，即
2x+z=x+2y=2y+2z=100。
于是x=40，y=30，z=20。一共至少用去长为7300毫米的钢筋90根。
8. 30，20， 50。
解：x+y+z=100， ①
400x+600y+400z≥44000， ②
800x+200y+400z≥48000。 ③
由②得 2x+3y+2z≥220。 ④
由③得 4x+y+2z≥240。 ⑤
由④-①×2，得y≥20。由⑤-①×2，得2x-y≥40。 由①得 z=100-x-y。
成本为
6x+5y+4z
=6x+5y+4(100-x-y)
=400+2x+y
=400+2y+(2x-y)≥400+40+40=480。
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