小学奥数10题：数字游系（博弈对策）
小学奥数10题：数字游系（博弈对策）
1.有一片由5*8=40块小巧克力组成的大巧克力，甲、乙两人进行切巧克力游戏。规定：每次只许沿一条直线切成两块，取走一块，留下一块给对方切。最后，直至留给对方一块小巧克力者为胜。问谁可获胜?如何切可获胜?
解：谁先切，谁能获胜。设甲先乙后。甲取胜策略：甲切一刀后，留给乙一个正方形。乙在正方形上切走 一块，则留下长方形。甲切完，又给乙留下一个正方形。如此反复轮流切，最终，甲留给乙一块小正方形巧克力，甲获胜。
2.两堆球，分别为2009、2010个。两人轮流从其中一堆中取出若干(不为0即可)，每次取球，只能从其中一堆中取。谁取得最后一球，谁为输。问谁有获胜机会，获胜策略如何?
解：先取者有获胜的机会。获胜策略：先取者，先从2010个球中取一球，则余下两堆球的数目相等。接着，后取者在某堆中取m，先取 者 在另 一 堆 中 也取m个。先取者每次 取 完，都 保 证 余 下 两 堆 球 的 数 目 相 等。如 果后取者取光一堆，先取者把另一堆留一球给对方。如果后取者从一堆取到只留一球，先取者就把另一堆取光。直至获胜。
3.5*10的方格棋 盘 上，黑 白 两 方，各 居 对 角 线 的 一 角，轮 流 走 棋。规 定：每 次 只 能 沿 横(或竖)线 至 少 移 动 一 步，但 不 许 与 对 方 棋 子同 在 一 条 直 线 上，也 不 许 超 越 对 方 棋 子 占 据的 两 条 直 线。最 终 谁 无 路 可 走 为输。问 谁 可 获 胜?取 胜 策 略 如 何?
解：先走者可胜。设先走者为甲，另一方为乙。甲先占据与对方占位点形成正方形的对角线的另一端点，即甲的落棋点与乙占位点均处在正方形对角的两端点。之后，不管乙如何移动，甲总保持“双方均处于正方形对角线两端点之态势，甲必获胜。
4.有两堆纸牌，分别为34张、25张。甲、乙轮流取，每次只能从其中一堆中取若干张(至少取，1张)，取得最后一张牌者为胜。问谁可获胜，获胜策略如何?
解：先取者可获胜。设 甲 先 取。获 胜 策 略：甲 先 从34张 牌 中取甲就在另一堆中取34-25=9张，使两堆牌都变成25张。随后，乙在某堆中取m张，甲就在另一堆中取m张。甲取完后，始终保持两堆牌的数量相等。随着两堆牌逐渐变少，直到最后，如果乙把一堆取光，甲就把另一堆留一张给乙，如果乙在某堆上取后留一张，甲就把另一堆取光。甲总可留给对方取最后一张，乙获胜。
5.有100张卡片，甲、乙轮流取，每 次 可 取1~6张，先 取 光 者 为 胜。问 谁可获胜，策略如何?
解：先取者可获胜。设甲先取。
甲获胜策略：100÷7=14…2，甲先取2张，则余下卡片数为7的倍数。如果乙取m(m<7)张，甲取(7-m)
张，乙、甲共取7张，余下仍为7的倍数。如此反复，直至余7张卡片后，乙再取一张，甲就可取光获胜。
6.有2010枚棋子，甲、乙轮流取，每次可取其中的2个或4个。取得最后一枚者为胜问谁有获胜的机会，取胜策略如何?
解：后取者有获胜机会。设乙先取甲后取。
取胜策略：2010÷6=335，2010为6的倍数。
乙取后，甲取数策略为：甲取之数与乙取之数的和，应保持为6。
例如：乙取2，甲取4，2+4=6
乙取4，甲取2，4+2=6
最后余6，乙取后，甲可取光获胜。
7.有2010枚硬币，甲、乙 轮 流 取，每 次 可 取1~8枚。获 最 后 一 枚 者 为胜。问谁有获胜机会?获胜策略如何?
解：先取者有获胜机会。设甲先取，乙后取。
获胜策略：2010÷9=223…3
甲先取，3枚，余下数为9的 倍 数，由 乙 取。乙 取m枚，则 甲 取(9-m)枚。则
甲取完 后余 数 仍 为9的 倍 数，轮 到 乙 取。直 至 最 后 留9枚，轮 到 乙 取。乙取
1~8枚后，甲可取光所余之数获胜。
8.有2010个球，甲乙轮流取，每 次 可 取1、3、4、7中 的 一 个 数。取 得 最 后一
球者为胜问谁有获胜可能?取胜策略如何?
解：后取者有获胜机会。设乙先取，甲可获胜。
甲的策略：2010÷5=402
设乙取m，则甲取n，甲保持：n+m是5的倍数。
例如：乙取1 甲取4 1+4=5
乙取3 甲取7 3+7=2×5
乙取4 甲取1 4+1=5
乙取7 甲取3 7+3=2×5
甲按此取法，留给乙取的球数总是5的倍数，最终，甲取完球后余5个球时，乙取1或3或4个球后，甲可一次取光获胜。
9.有2999枚棋子，甲乙轮流取，每 次 可 取1、3、4、7个 棋 子。获 取 最 后 一 枚
者为胜。问：谁可获胜?取胜策略如何?
解：先取者有获胜机会。设甲先取，取胜策略：
2999÷5=599…4
甲先取4枚，则余数为5的倍数，由乙取。甲取棋策略同8题，即可获胜。
10.黑板上写有101个数字，分 别 是1、2、3、…、101，甲、乙 轮 流 从 中 任 意划
去9个数字。甲、乙共划11次后，黑板上还有2个数字。设甲先划，乙后划，若最
终余下的两数差为55，则甲胜;若两数差不是55，则乙胜。问谁有取胜可能，取胜
策略如何?
解：甲先划，甲有取胜可能。取胜策略：甲先划去47~55这9个数字，则余下92个数字，可排为2行，46列。
第一行：1、562、3、…、44、、…、45、46
第二行：、57、5899、100、101
先做如下定义：划去同一列的两个数字(如划去称为划去一个单数1和56)，称 为 划 去 一 对 整列
数;划去某行中的一个数(如44)，划去单 个 数 以 后，其 所 在列余下的那个数(如n99)称做余下的孤立数。
如果乙划去对整列数和(n9-2n)单 个 数(n为(1、2、n3、4中 的 一 个 数)，则甲就在余下的整列数中随意划去对整列数，再划去余 下 的 全 部 是 整 列数9-2)个余下的孤立数。
因为如此划法，甲 划 完 后，，最 后，会 留 下 一 对 整 列 数。
而任何一对整列数，相差都是55，甲必胜。
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