（上册）第四讲带余数的除法

标签：数的整除问题

前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。

当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r＜b。

例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。

分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。

解：∵被除数÷除数=商…余数，

即被除数=除数×商+余数，

∴251=除数×商+41，

251-41=除数×商，

∴210=除数×商。

∵210=2×3×5×7，

∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。

例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？

解：∵被除数=除数×商+余数，

即被除数=除数×40+16。

由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，

∴（除数×40+16）+除数=877，

∴除数×41=877-16，

除数=861÷41，

除数=21，

∴被除数=21×40+16=856。

答：被除数是856，除数是21。

例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？

解：十月份共有31天，每周共有7天，

∵31=7×4+3，

∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。

∴这年的10月1日是星期四。

例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？

解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天），

从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.

例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。

这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”

关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：

方法1：2×70+3×21+2×15=233

233-105×2=23

符合条件的最小自然数是23。

例5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：

方法2：[3，7]+2=23

23除以5恰好余3。

所以，符合条件的最小自然数是23。

方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。

例6 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。

分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。

解：[5，6]-2=28，即28适合前两个条件。

想：28+[5，6]×？之后能满足“7除余1”的条件？